Matematik

Trigonometriske funktioner (sin og cos)

08. maj 2015 af karlosi (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej alle!

Håber der er en derude som vil hjælpe mig med følgende 2 opgaver.

a) Bestem nulpunkterne for funktionen:

$f(x)=sinx-cosx, x\in \left [ 0;2\pi \right ]$

Bestem monotoniforholdene og værdimængden for f.

f(x)=ln(-x^2+6x-5)

Løs uligheden f(x)>0

I den første opg.a har jeg differentieret funktionen, så jeg kan bestemme monotoniforholdene.

f'(x)=cos(x)+sin(x) er det rigtigt?

Kan ikke helt finde ud af resten!

På forhånd tak:)

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. maj 2015 af mathon

a) Bestem nulpunkterne for funktionen:

        $f(x)=\sin(x)-\cos(x)\; \; \; \; \; \; \; \; x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
    nulpunkter
                       $x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi }{4}\\ \frac{5\pi }{4} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. maj 2015 af Brusebad (Slettet)

Bestem nulpunkterne ved at løse ligningen sin(x) - cos(x) = 0 dvs. sin(x) = cos(x). Du kan godt bestemme monotonifirhold ved differentiation, så skal du løse f ' (x) = 0 (husk at tænke på at x ligger i intervallet [0, 2pi])

til b'eren så er ln(1) = 0 og da ln er strengt voksende ved du at ln(y) > 0 for y > 1.

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. maj 2015 af Brusebad (Slettet)

Mht. til at løse cos(x) = sin(x) og cos(x) = - sin(x) så kan du med fordel tegne endhedscirklen, så er det meget nemt at se løsningerne. Når du skal bestemme værdimængden kan du med fordel benytte maksimums- og minimumsværdierne, samt at funktionen er kontinuert.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. maj 2015 af mathon

$f{\, }'(x)=\cos(x)+\sin(x)$

$f{\, }'(x)=\cos(x)+\sin(x)=0$

$x=\left\{\begin{matrix} \frac{3\pi }{4}\\ \frac{7\pi }{4} \end{matrix}\right.$

monotoniforhold:

$f{\, }'(x)\! :$ + 0 - 0 +
0___________ $\tfrac{3\pi }{4}$ ___________ $\tfrac{7\pi }{4}$ _________ $2\pi$

$f(x)\! :$ voksende aftagende voksende

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. maj 2015 af mathon

$f(x)=\ln(-x^2+6x-5)\; \; \; \; \; \; \; x\in ]1;5[$

Løs uligheden
f(x)>0 for $x\in\; ]\, 3-\sqrt{4-e};3+\sqrt{4-e}\, [$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. maj 2015 af Stats

Som supplement til #2, i opg. a (illustration)

[...] ligningen sin(x) - cos(x) = 0 dvs. sin(x) = cos(x). [...]

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #7
08. maj 2015 af karlosi (Slettet)

Jeg har stadig svært ved at bestemme værdimængden i opgave a og løse uligheden i opgave b?

Kunne i eventuelt komme med flere hints?

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. maj 2015 af Soeffi

#0 a) Bestem nulpunkterne for funktionen:
$f(x)=sinx-cosx, x\in \left [ 0;2\pi \right ]$

$sin(x)-cos(x)=0\Leftrightarrow sin(x)=sin(\frac{\pi }{2}-x)\Leftrightarrow$

$(x)\pm 2\pi\cdot p =(\frac{\pi }{2}-x), \;hvor\;p=0,1,2...\Leftrightarrow$

$x=\frac{\pi }{4}\pm \pi\cdot p, \;p=0,1,2...$

P = 0 og p=1 giver løsningerne mellem 0 og 2π.

Svar #9
08. maj 2015 af karlosi (Slettet)

Jeg har nu bestemt værdimængden i opgave a, jeg mangler bare at løse uligheden i opgave b, for det har jeg aldrig prøvet før?

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. maj 2015 af mathon

              $f(x)=\ln(y)\; \; \; \; \; y=-x^2+6x-5\; \; \; \; \; x\in\, \, ]1;5[$
               f(x)>0     kræver   y>e
                                                    -x^2+6x-5>e

x^2-6x+(5+e)<0

(x-3)^2-9+5+e<0

                                                    $|x-3|<\sqrt{4-e}$
         for 3<x<5                $x<3+\sqrt{4-e}$
         for 1<x<3:            $x>3-\sqrt{4-e}$

dvs
$3-\sqrt{4-e}<x<3+\sqrt{4-e}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. maj 2015 af Brusebad (Slettet)

Benyt metoden i #10, men bemærk i stedet at f (x) > 0 kræver y > 1 og ikke e. (i hvert fald så vidt jeg lige kan gennemskue). Det vil nok også være en god idé, at overveje hvorfor der i #10 skrives at x ∈ ]1, 5[ (Vink: Hvad sker der med y hvis x ikke ligger i intervallet ]1, 5[ og kan man tage ln til et tal, b, hvis b ≤ 0?)

Brugbart svar (0)

Svar #12
09. maj 2015 af mathon

korrektion

             $f(x)=\ln(y)\; \; \; \; \; y=-x^2+6x-5\; \; \; \; \; x\in\, \, ]1;5[$
               f(x)>0     kræver   y>1
                                                    -x^2+6x-5>1

x^2-6x+(5+1)<0

(x-3)^2-9+6<0

                                                    $|x-3|<\sqrt{3}$
         for 3<x<5                $x<3+\sqrt{3}$
         for 1<x<3:            $x>3-\sqrt{3}$

dvs
$3-\sqrt{3}<x<3+\sqrt{3}$

Skriv et svar til: Trigonometriske funktioner (sin og cos)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.