Matematik

Afledte funktion

05. juni 2015 af UchihaItachi - Niveau: B-niveau

Hvordan viser man den afledte funktion for $f(x) =e^{kx} f(x) = a^{x} f(x) = x^{a}$

med tretrins regelen hjælp..

Brugbart svar (0)

Svar #1
05. juni 2015 af mathon

Det fører til alt for mange notationer at benytte tretrinsreglen her. Tretrinsreglen benyttes til differentiation af elementærfunktioner. En sammensætning af disse differentieres efter differentiationsreglerne.

$f(x)=a^x=e^{x\cdot \ln(a)}$

$f{\, }'(x)=\left (e^{x\cdot \ln(a)} \right ){}'=\ln(a)\cdot e^{x\cdot \ln(a)}=\ln(a)\cdot a^x$

$f(x)=a^x=e^{x\cdot \mathbf{\color{Red} \ln(a)}}=e^{\mathbf{\color{Red} k}x}$

$f{\, }'(x)=k\cdot e^{kx}$

Brugbart svar (1)

Svar #2
05. juni 2015 af Soeffi

#0 Hvordan viser man den afledte funktion for

$f(x) =e^{kx}\;og\; f(x) = x^{a}$
med tretrins-reglen?

Jeg er i tvivl om e^kx, idet de beviser, som jeg har set, benytter, at hældningen til e^x for x=0 er 1. (Det ligner for mig at se et cirkelbevis.) Antages dette imidlertid, får man, at tæt på x=0 kan e^kx tilnærmes til 1 + kx, hvilket er det afgørende i beviset:

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{(kx+h)}-e^{kx}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}\cdot e^{h}-e^{kx}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}(e^{h}-1)}{h}=$

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}((1+kh)-1)}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}\cdot kh}{h}=ke^{kx}$

For differentialkvotienten til x^a kan man benytte sin viden om binomialkoefficienter, der siger at de to første led i (x+h)ⁿ er xⁿ + n·x^n-1·h Herefter følger en rest-sum af led hvor x har lavere potens end n-1 og h en højere potens end 1. Man får:

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+h)^{a}-x^{a})}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{(x^{a}+a\cdot x^{a-1}\cdot h+...rest)-x^{a})}{h}=$

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{x^{a}-x^{a}+a\cdot x^{a-1}\cdot h+...rest}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{a\cdot x^{a-1}\cdot h+...rest}{h}=$

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}(\frac{a\cdot x^{a-1}\cdot h}{h}+\frac{rest}{h})=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\;(a\cdot x^{a-1}+\frac{rest}{h})=a\cdot x^{a-1}$

idet rest-leddet indeholder led hvor en potens af x ganges med en potens af h, der for fast x går med 0 for h gående mod 0.

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. juni 2015 af Soeffi

#2 Rettelse:...

$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{k{\color{Red} (x+h)}}-e^{kx}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}\cdot e^{kh}-e^{kx}}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}(e^{kh}-1)}{h}=$
$\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}((1+kh)-1)}{h}=\underset{h\rightarrow 0}{lim}\frac{e^{kx}\cdot kh}{h}=ke^{kx}$

Skriv et svar til: Afledte funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.