Matematik

Konvekse/konkave funktioner

18. august 2015 af DavidJac (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Check om funktion er konkave, konveks, strikt konkave, strikt konveks.

z=x^2

Her er min udregning og hvor jeg sidder fast:

vi lader u og være to forskellige punkter i domænet hvorved:

f(u)=u^2 og f(v)=v^2

og derved $f[\Theta u+(1-0)*v]=[\Theta *u+(1-\Theta)*v]^2$

Dette substitueres så ind i ligningen igen hvor højresiden trækkes fra venstresiden. (Det er her jeg sidder fast, døjer med at se hvordan det skal skrives op.)

$\Theta *u^2+(1-\Theta )*v^2$

Det er det første stykke indsat. Har derefter noget opløfter i. Ved ikke om det andet linjestykke, så skal skrives flere gange.

Svar #1
18. august 2015 af DavidJac (Slettet)

Stykket jeg skal teste via er:

$\Theta f(u)+(1-\Theta )f(v)=f[\Theta u+1(-\Theta )*v]$

hvor vestresiden er højden af linjesegmenten, og højresiden er højden af arken.

Svar #2
18. august 2015 af DavidJac (Slettet)

Er der ikke umiddelbart nogen der kan forklarer hvorman man skal opskrive det? eller er det bare min forklaring som er dårlig?

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. august 2015 af AskTheAfghan

Se Definition på konveks

Svar #4
18. august 2015 af DavidJac (Slettet)

Jeg forstår godt definition, på konveks. Problemet opstår i at jeg døjer med at opskrive ligningen som skal opstilles, efter jeg har indsat i formlen. Jeg får jo opstillet en ligning, som efterfølgende skal reduceres, for at finde ud af hvilken side som er størst. Det er der jeg sidder fast.

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. august 2015 af Stats

En funktion kaldes konkav i intervallet I dersom det for alle a,b∈I og alle λ∈(0,1) gælder at
f(λa + (1 - λ)b) ≥ λf(a) + (1 - λ)f(b)

En funktion kaldes konveks i intervallet I dersom det for alle a,b∈I og alle λ∈(0,1) gælder at
f(λa + (1 - λ)b) ≤ λf(a) + (1 - λ)f(b)

Ved strengt konkave eller konvekse ændres "≥" og "≤" til ">" og "<"

f(λa + (1 - λ)b) = (λa + (1 - λ)b)² = (λa + b - λb)² = (λa + b - λb)(λa + b - λb) =
λ²a² + λab - λ²ab + λab + b² - λb² - λ²ab - λb² + λ²b² = λ²a² + λ²b² + 2λab - 2λ²ab + b² - λb² =
λ²a² + λ²b² + 2λab(1 - λ) + b² - λb²

λf(a) + (1 - λ)f(b) = λa² + (1 - λ)b² = λa² + b² - λb²

λ²a² + λ²b2 + 2λab(1 - λ) + b² - λb² = λa² + b² - λb² ⇔
λ²a² + λ²b² + 2λab(1 - λ) - λb² = λa² - λb² ⇔
λa² + λb² + 2ab(1 - λ) - b² = a² - b² ⇔
λa² + λb² + 2ab(1 - λ) = a²

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. august 2015 af AskTheAfghan

#4 Lad f : R → R være givet ved f(x) = x². Vi ser, at

k₁:= f(ta + (1 - t)b) = (ta)² + ((1 - t)b)² + 2ta(1 - t)b og

k₂:= t f(a) + (1 - t) f(b) = ta² + (1 - t)b².

Bemærk at t² ≤ t for alle t i [0, 1]. Da vil (ta)² + ((1 - t)b)² ≤ ta² + (1 - t)b² for alle t i [0, 1].

For at vise om den er konveks, skal du vise, at k₁ ≤ k₂ for alle a, b i delmængden I af R og t i [0, 1].

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. august 2015 af LeonhardEuler

#0 : For ∀x: z'' = 2 > 0, hvorfor z er en konveks funktion (gennem hele sin definitionsmængde).

Skriv et svar til: Konvekse/konkave funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.