Matematik

Repetition vektor, plan

09. september 2015 af nejvelda - Niveau: A-niveau

Hej

Er der nogen, der kan forklare mig fremgangsmåden for at vise, at linien l ligger i planen α? er det noget med planens ligning jeg skal bruge?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. september 2015 af PeterValberg

Hvis der er tale om en linje i planen, så vil linjens normalvektor være parallel med planens normalvektor

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

#1 En linie har uendelig mange normalvektorer, så den går ikke.

Vælg to punkter på linie og se, om de ligger i planen.

Du har sikkert linien givet ved parameterfremstillingen. Du kan sætte koordinatudtrykket ind i planens ligning og se, om ligningen er opfyldt for alle værdier af parameteren. Det vil vise sig ved at den går ud i regningerne.

Svar #3
09. september 2015 af nejvelda

og det er i tre dimensioner

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Ja.

Svar #5
09. september 2015 af nejvelda

Jeg forstår faktisk ikke helt, hvordan parameterfremstillingen kan sættes ind i planens ligning?

Vedhæftet fil:Udklip.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #6
09. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Ligning: ax+by+cz=d

Parameterfremstilling: (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t*(v_x,v_y,v_z) = (x₀+t*v_x, y₀+t*v_y, z₀+t*v_z)

Indsættelse: a(x₀+t*v_x) + b(y₀+t*v_y) + c(z₀+t*v_z) = d

Hvis du indsætter de aktuelle værdier for a,b,c,d, x₀,y₀,z₀, v_x,v_y og v_z og reducerer ligningen, vil t forsvinde af regningerne, hvis linien er parallel med planen. Hvis ligningen stadig er sand, ligger linien i planen. Hvis ligningen er falsk, (f.eks. 7=3), er linien parallel med planen, men ligger ikke i planen. Hvis t ikke forsvinder, skærer linien planen og den t-værdi, der gør ligningen sand, kan indsættes i parameterfremstillingen, hvorved man kan finde skæringspunktet.

Brugbart svar (0)

Svar #7
10. september 2015 af mathon

Vis at alle punkter på linjen

$l\! \! :\; \; \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1 \\ 2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

opfylder ligningen for planen
$\alpha \! \! :\; \; 2x-y+z=5$ uanset værdien af

Brugbart svar (1)

Svar #8
10. september 2015 af mathon

b)
Planen $\beta$ har normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}$ og når P(x,y,x) er et variablet punkt i planen $\beta$

er vektoren $\begin{pmatrix} x-1\\y+2 \\ z-3 \end{pmatrix}$ vinkelret på $\overrightarrow{n}.$
hvoraf
$\beta \! \! :\; \; \begin{pmatrix} 1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x-1\\y+2 \\ z-3 \end{pmatrix}=0$

$\beta \! \! :\; \; x+3y+z+2=0$

Brugbart svar (0)

Svar #9
10. september 2015 af mathon

c)
Et fælles punkt på linijen (sporet), som udgør planernes fællesmængde er P_o(7,0,-9) .

En retningsvektor $\overrightarrow{r}$ for sporet er krydsproduktet af planernes normalvektorer

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\-1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\1 \\ -7 \end{pmatrix}$

En parameterfremstilling for skæringslinjen mellem planerne $\alpha$ og $\beta$
er derfor:
$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\0 \\ -9 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 4\\1 \\ -7 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; \; s\in\mathbb{R}$

Svar #10
11. september 2015 af nejvelda

Hvis vi lige tager det en af gangen. Lad os starte med opg 1 a) i #7:

Jeg forstår ikke helt hvad du mener, men jeg har forsøgt at gør sådan:

Hvis det er rigtigt det jeg har gjort, kan jeg så få en forklaring for, hvorfor det ikke er rigtigt med det der er markeret med blå :)

Vedhæftet fil:plan og ligning.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. september 2015 af Eksperimentalfysikeren

Hvis du tager det, der er markeret med blåt med i udregningerne, er ligningen stadig opfyldt.

Prøv det.

Svar #12
11. september 2015 af nejvelda

Oka så dvs sige det er rigtigt? :) Men der må da være en forklaring? :/

Brugbart svar (1)

Svar #13
12. september 2015 af mathon

Vedrørende forklaringen omtalt i #12.

$l\! \! :\; \; x=z=2+t$ y=1+3t som indsat i

planens ligning
$\alpha \! \! :\; \; 2x-y+z=5$
giver:
$2\cdot (2+t)-(1+3t)+(2+t)=3(2+t)-1-3t=6+3t-1-3t=5$
uanset værdien af parameterværdien

dvs at
alle l's punkter ligger i $\alpha$ .

Svar #14
12. september 2015 af nejvelda

Mange tak for hjælpen! a og b i opgave 1 har jeg lavet nu :) (og hold da op det tog sin tid :D)

c'eren er jeg ikke med på.. hvrodan bestemmer man en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem to planer? sætter du parameterfremstillingen ind i planen alfa?

Svar #15
12. september 2015 af nejvelda

og hvor kommer (7,0,-9) og (4,1,-7) fra i #9 ?

Brugbart svar (0)

Svar #16
12. september 2015 af mathon

I de to ligninger for planerne $\alpha$ og $\beta$ er der tre ubekendte.
Sættes én af koordinaterne til 0, kan de to andre beregnes.
Jeg valgte at sæte y=0
hvoraf:
$\alpha \! \! :\; \; 2x+z=5$

                 $\beta \! \! :\; \; x+z=-2$
hvis løsning er
                          (x,z)=(7;-9)
dvs fællespunktet
                          $(x,y,z)=(7;0\, ;-9)$

$\overrightarrow{r}=\begin{pmatrix} 1\\3 \\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\-1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\1 \\ -7 \end{pmatrix}$
bør du selv kunne kontrolberegne.

En parameterfremstilling for skæringslinjen mellem planerne $\alpha$ og $\beta$
er derfor:

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_o}+s\cdot \overrightarrow{r}$

$\begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7\\0 \\ -9 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} 4\\1 \\ -7 \end{pmatrix}\; \; \; \; \; \; s\in\mathbb{R}$

Skriv et svar til: Repetition vektor, plan

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.