Side 2 - Analyse :urbilleder - Billedemængde

Ah, jeg har skrevet definationen forkert op:

f−1(H) = {x ∈ X | f(x) ∈ H}⊆ X.

Hmmm...

Jeg er træt.

Matematik er mega hårdt

Tak for hjælpen. Jeg giver op for i dag.

Hårdt, men mega spændende og sjovt :)

#1

det gælder at f^-1(A)={x∈X|f(x)∈A}, samtidigt er f(A)={f(x)|x∈A}

det vil sige at f(f^-1(A))=f({x∈X|f(x)∈A}={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}=A.

Dette er givetvis lidt forvirrende skrevet op, men mængden før det sidste lighedstegn er jo "Funktionsværdien til de punkter hvis funktionsværdi ligger i A" hvilket jo netop er A.

Giver det mening? :)

Så er jeg tilbage. Kan I stadig hjælpe med denne opgave.

#1. Jeg forstår ikke hvad du bruger definationen for billedemængden til. Og kan du forklarer step for step hvad du egentlig gør? :/

f(f^-1(A))=f({x∈X|f(x)∈A}={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}, det eneste jeg bruger her er de to definitioner, det første lighedstegn benyttes definitionen af urbilledet, og i det andet definitionen af billedmængden, så skal man vise at:

{f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}⊆A

Så lad y∈{f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}, det vil sige at der eksisterer et x' således at y=f(x') og at x'∈{x∈X|f(x)∈A}, af dette fremgår det at f(x')∈A og da y=f(x') vil y∈f(x'), og altså gælder {f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}⊆A og dermed   f(f-1(A))⊆A

Det er måske en smule frem og tilbage, men sådan vil mit løsningsforslag se ud, man givet gøre det på andre måder også :)

Jeg forstår ikke hvor du har et y fra når funktionen er f: X -> X

y er bare valgt vilkårligt fra mængden {f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}, den behøver ikke at kaldes y, jeg ville bare ikke bruge flere x'er :)

Okay. :) Mange tak, vil prøve at se om jeg kan få det til at give mening 

Hvordan bruges definationen jer:

f({x∈X|f(x)∈A}={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}

du tager funktionen til et vilkårligt x element. Så får du f(x').

Hvordan ved du så der gælder at dit vilkårlige x element tilhører mængden X hvor der gælder at f(x) tilhører a?

Definitionen: f(A)={f(x)|x∈A}

sæt A={x∈X|f(x)∈A}, og benyt definitionen direkte (brug x' for ikke at blande de forskellige x'er sammen):

f({x∈X|f(x)∈A})={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}.

Funktionen tages ikke på et element her, men vi finder billedmængden af mængden {x∈X|f(x)∈A}, okay? :)

Er x' et bestemt element?

Ikke her: {f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}. Det er mængden af f(x')'er hvorom det gælder at x' ligger i mængden af x'er (ikke x' men bare x) hvor f(x) ligger i A. Så der er ingen bestemte elementer.

Dog kan jeg se at jeg i #25 fik brugt x' igen her som et bestemt element, det burde selvfølgelig have været kaldt noget andet. Altså fra "sige at der eksisterer et x' således " burde der stå y' eller noget andet i stedet for x'.

en anden rettelse er at jeg skriver " og da y=f(x') vil y∈f(x')" der burde stå " og da y=f(x') vil y∈A" (og x' burde stadig være udskiftet), jeg håber ikke at det er alt for forvirrende..

hvordan kan du bare sætte A={x∈X|f(x)∈A

{x∈X|f(x)∈A} er jo f-1(A) og ikke A?

Sorry de mange spg, men det her er kompekst.

Nu bliver det liiidt forvirrende. Jeg prøver lige igen.

Ahh, ja det er fordi min notation er dum og forvirrende.

Det er jo ikke heldigt at bruge A om både mængden i opgaven, og i definitionen.

Hvis nu at vi siger at definitionen er at for en vilkårlig mængde B⊆X og en funktion f: X→X er billedmængden: f(B)={f(x)|x∈B}.

Vi kommer så frem til ligheden f({x∈X|f(x)∈A})={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}. ved at benytte definitionen med den vilkålige mængde B fastsat som B={x∈X|f(x)∈A}, du kan se at så siger definitionen at f(B) er mængden af f(x) (men x er allerede brugt, så vi bruger x') så mængden af f(x') hvor x' ligger i B som altså er denne mængde {x∈X|f(x)∈A}, som jo altså kan skrives som  f({x∈X|f(x)∈A})={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}}

Jeg prøver lige at samle det hele igen. Jeg har mistet overblikket, så jeg skal lige have lidt tid, hvis det er ok?

Det er helt fint, du må jo skrive igen hvis det stadig driller så. :)

f(B) siger jo at det er lig mængden af f(x) for alle x tilhørende B.

f(B) siger jo at det er lig mængden af f(x) for alle x tilhørende B.

og det mp ligge i denne mængde {x∈X|f(x)∈B}

DU har skrevet A istedet for B?

Hvis vi nu lige kigger på det fra begyndelsen igen.

Vi skal vise at for en mængde A gælder at f(f^-1(A))⊆A. Her benytter vi først definitionen af urbilledet til at sige at: f^-1(A)={x∈X|f(x)∈A}, dette gælder altså per definition, og vi indsætter dette i f(f^-1(A)), så fås at:

f(f^-1(A))=f({x∈X|f(x)∈A}), her er udtrykket for f^-1(A) indsat.

Så vil jeg altså gerne omskrive dette udtryk ved hjælp af definintionen på billedmængden, dette bliver til f({x∈X|f(x)∈A})={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}} igen direkte ud fra definitionen. f(B)={f(x)|x∈B}, dette er den generelle definition, vores må er at finde billedmængden for {x∈X|f(x)∈A}, vi lader B={x∈X|f(x)∈A} og indsætter i definitionen:

f(B)={f(x)|x∈B} => f({x∈X|f(x)∈A})={f(x)|x∈{x∈X|f(x)∈A}} hvor det med fed skrift er den indsatte mængde, vi skal dog holde x'erne fra definitionen adskilt fra x'erne i mængden, så skriv i stedet:

f({x∈X|f(x)∈A})={f(x')|x'∈{x∈X|f(x)∈A}} 

Altså B hører kun til i definitionen, og er en generel mængde, i opgaven har vi en konkret mængde som vi sætter ind i definitionen.