Matematik

Bestem tidspunktet med størst væksthastighed

26. juli 2016 af youpcbro (Slettet) - Niveau: A-niveau

Har siddet og roddet med denne her opgave i et par timer og kan bare ikke komme frem til noget fornuftigt... Håber nogen kan hjælpe med hvordan den skal tackles;

I en model for udviklingen i antal insekter i en bestemt population er antal insekter som funktion af tiden en løsning til differentialligningen $\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}= 0,01\cdot sin(0,017t-1,03)\cdot N , 0\leq t\leq 365$

Hvor N(t) betegner antal insekter (målt i mio) til tidspuktet t (målt i døgn). Det oplyses, at der til tidspunktet t=0 er 100 mio insekter i populationen.

Bestem tidspunktet med størst væksthastighed

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. juli 2016 af mathon

$\sin\left ( 0{,}017 t -1{,}03\right )$ med perioden $\Delta t=369{,}599$
har maksimum for
$0{,}017t-1{,03}=\frac{\pi }{2}$
dvs til tiden

t=152{,}988

$\left (\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )_{max}= 0,01\cdot1\cdot N \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; 0\leq t\leq 365$ da N>0

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. juli 2016 af mathon

Beregning af $N(t)\! \! :$

$\frac{1}{N}\, \mathrm{d}N=0{,}01\cdot \sin\left ( 0{,}017t-1{,}03 \right )\, \mathrm{d}t$

$\int \frac{1}{N}\, \mathrm{d}N=\int 0{,}01\cdot \sin\left ( 0{,}017t-1{,}03 \right )\, \mathrm{d}t$

$\ln(N)=-\frac{0{,}01}{0{,}017}\cdot \cos\left ( 0{,}017t-1{,}03 \right )+C$

$\ln(N(t))=-0{,}588235\cdot \cos\left ( 0{,}017t-1{,}03 \right )+C$

$\ln(N(0))=-0{,}588235\cdot \cos\left ( -1{,}03 \right )+C$

$\ln(100)=-0{,}588235\cdot \cos\left ( -1{,}03 \right )+C$

C=4{,}908
hvoraf
$N(t)=e^{-0{,}588235\cdot \cos\left ( 0{,}017t-1{,}03 \right )+4{,}908}$

$N(152{,}988)=e^{-0{,}588235\cdot \cos\left ( 0{,}017\cdot 152{,}988-1{,}03 \right )+4{,}908}=135{,}368$

dvs
$\left (\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} \right )_{max}= 0,01\cdot1\cdot 135{,}368=1{,}35368$ $\left ( \tfrac{mio}{d\o gn} \right )$

Svar #3
29. juli 2016 af youpcbro (Slettet)

Tak for hjælpen mathon :-) Havde læst en masse af dine indlæg på andre tråde om logistisk vækst herinde, men gennemskuede ikke hvad jeg skulle stille op med sinus-ledet. Fik dog N(152,988) = 75,188 både med og uden lommeregner

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. juli 2016 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1684977

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1684867

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. januar 2018 af frederasmussen

Jeg sidder netop med samme opgave, og forstår stadig ikke, hvordan jeg skal løse b)... Kan nogen hjælpe

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Tidspunkterne med st\o rst v\ae ksthastighed}$
$\small \textup{kr\ae ver:}$
$\small 0{.}017(t_o+\Delta t)-1{.}03=0\textup{ da sinusfunktionen er periodisk lig med 0.}$

$\small 0{.}017t_o-1{.}03+0{.}017\cdot \Delta t=0$

$\small t_o=60{.}5882$ $\small \Delta t=p\cdot \tfrac{\pi }{0{.}017}=184{.}8$
$\small \textup{dvs}$
$\small 0{.}017\cdot \Delta t=p\cdot \pi \; \; \; \; \; p\in \{0,1\}$ $\small \textup{ da t ikke m\aa \ overstige 365.}$

$\small \textup{hvoraf:}$
$\small t=\left\{\begin{matrix} 60{.}588\\ 245{.}388 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. januar 2018 af mathon

$\small \textup{korrektion:}$
$\small t_o=60{.}5882$ $\small \Delta t=p\cdot \tfrac{\pi }{0{.}017}=p\cdot 184{.}8\; \; \wedge\; \; p\in \mathbb{Z}$

Skriv et svar til: Bestem tidspunktet med størst væksthastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.