Matematik

Bevis Areal i Cirkel

21. december 2016 af Anonyminized (Slettet) - Niveau: C-niveau

Kan i hjælpe med at bevise Areal i en cirkel og cirkelafsnit

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. december 2016 af anonym005

https://www.youtube.com/watch?v=oSBtVAOn9ZY&feature=youtu.be

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. december 2016 af mathon

Lægges koordinatsystemet med begyndelsespunktet i cirklens centrum,
har man for den øvre halvcirkels areal:

$A_{\frac{1}{2}}=\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\, \mathrm{d}x$
som på grund af symmetrien
giver:
$A_{\frac{1}{2}}=2\int_{0}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\, \mathrm{d}x$

heri substitueres:
$x=r\cdot \sin(\theta )$ og dermed $\mathrm{d}x= r\cdot \cos(\theta )\mathrm{d}\theta$

hvoraf:
$A_{\frac{1}{2}}=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{r^2-r^2\sin^2(\theta )}\, \, r\cos(\theta )\mathrm{d}\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{r^2\left (1-\sin^2(\theta ) \right )}\, \, r\cos(\theta )\mathrm{d}\theta=$

$2r^2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos^2(\theta )}\cdot \cos(\theta )\mathrm{d}\theta=r^2\cdot \int_{0}^{r}2\cos^2(\theta )\mathrm{d}\theta =r^2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos(2\theta ))\mathrm{d}\theta =$

$r^2\cdot \left [ \theta +\frac{1}{2}\sin(2\theta ) \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=r^2\cdot \frac{\pi }{2}$

hvoraf for hele cirklen:

$A_{cirkel}=2\cdot\left ( r^2\cdot \frac{\pi }{2} \right )=\pi \cdot r^2$

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. december 2016 af mathon

korrektion af
tastefejl:

$2r^2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\cos^2(\theta )}\cdot \cos(\theta )\mathrm{d}\theta=r^2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}2\cos^2(\theta )\mathrm{d}\theta =r^2\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos(2\theta ))\mathrm{d}\theta =$

Skriv et svar til: Bevis Areal i Cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.