Matematik

projektion af punkt på plan og linje?

10. august 2017 af Qvark (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan kan man bevise projektion af hhv. punkt på plan og punkt på linje?

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. august 2017 af PeterValberg

Se denne videoliste < LINK >
der er måske hjælp at hente :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. august 2017 af mathon

Et punkts projektion på en linje.

Når $\small A$ er et punkt på linjen og $\small P$ er punktet uden for linjen
har man for punktprojektionen på linjen i den plan, der indeholder linjen, A og P, når $\small v$ er vinklen mellem $\small \overrightarrow{AP}$ og linjens retnigsvektor $\small \overrightarrow{r}$ :

$\small \left | \overrightarrow{AP_p} \right |=\left | \overrightarrow{AP} \right |\cdot \cos(v)=\frac{\left | \overrightarrow{r}\cdot \right |\left | \overrightarrow{AP} \right |\cdot \cos(v)}{\left |\overrightarrow{r} \right |}$

$\small \overrightarrow{AP_p} =\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{AP}}{\left | \overrightarrow{r} \right |}\cdot \frac{\overrightarrow{r}}{\left | \overrightarrow{r} \right |}=\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{AP}}{\left | \overrightarrow{r} \right |^2}\cdot \overrightarrow{r}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. august 2017 af mathon

Et punkts projektion på en plan $\small ax+by+cz+d=0$ .

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. august 2017 af mathon

Et punkts projektion på en plan $\small ax+by+cz+d=0$ $\small \overrightarrow{n}=\left [ a,b,c \right ]$

Linjen $\small l$ gennem punktet $\small P_o(x_o,y_o,z_o)$ vinkelret på planen
har parameterfremstillingen:

$\small \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OP_o}+t\cdot \overrightarrow{n}\; \; \; \; \; \; \; t\in \mathbb{R}$

$\small \begin{pmatrix} x\\y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_o+t\cdot a\\y_o+t\cdot b \\ z_o+t\cdot c \end{pmatrix}$
og man har
$\small a\cdot \left ( x_o+t\cdot a \right )+b\cdot \left ( y_o+t\cdot b \right )+c\cdot\left ( z_o+t\cdot c \right ) +d=0$

hvor kun $\small t$ er ubekendt.

$\small t$ beregnes og indsættes i

$\small P_o_{\; proj}=\left (x_o+t\cdot a, y_o+t\cdot b,z_o+t\cdot c \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. august 2017 af mathon

#2 fortsat:

$\small \overrightarrow{AP_p}=\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{AP}}{r^2}\cdot \overrightarrow{r}$

$\small \overrightarrow{OP_p}-\overrightarrow{OA}=\left (\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{AP}}{r^2} \right )\cdot \overrightarrow{r}$

$\small \overrightarrow{OP_p}=\overrightarrow{OA}+\left (\frac{\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{AP}}{r^2} \right )\cdot \overrightarrow{r}$

Et punkt har samme koordinater som sin stedvektor.

Skriv et svar til: projektion af punkt på plan og linje?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.