Matematik

Bestemmelse af ligning for cirkel

21. august 2017 af PresidentDungeon - Niveau: A-niveau

Hej

Har nu siddet med denne opgave i et stykke tid, men kan ikke helt fatte hvordan det skal løses. Opgaven er 3-delt, og jeg har problemer med den sidste del.

Først del: En cirkel har ligningen x^2-6x+y^2+4y=12 . Bestem centrum og radius for cirklen, og tegn cirklen.

Denne del har jeg gjort, og jeg fik cirklens centrum til at være c(3;-2) og r=5

Anden del: Punktet P(6,-6) ligger på cirklen. Bestem en ligning for tangenten til cirklen i punktet .

Dette har jeg løst, og jeg fik ligningen for tangenten til at være -3x+4y+42=0

Tredje del: Linjen er også tangent til en anden cirkel, der har centrum i punktet Q(16,14) . Bestem en ligning for denne cirkel.

Som sagt er det tredje spørgsmål som jeg ikke helt forstår, og ville blive meget glad hvis en venlig person gad at hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. august 2017 af SuneChr

Bring t på normalform og indsæt deri Q. Afstanden er da lig med radius i cirklen med centrum i Q.

Svar #2
21. august 2017 af PresidentDungeon

Jeg kan nogenlunde forstå hvad du mener, men jeg må ærligt indrømme, at jeg følger mig lidt tabt...

Brugbart svar (1)

Svar #3
21. august 2017 af SuneChr

Radius i cirklen

Indsæt (16 ; 14) i normalformen

$\frac{\left | -3x+4y+42 \right |}{\sqrt{\left ( -3 \right )^{2}+4^{2}}}$

Svar #4
21. august 2017 af PresidentDungeon

Jeg kan godt se, at hvis man udregner dette får man en radius på 10, men jeg forstår ikke helt hvordan det hænger sammen?

Ellers tak for hjælpen indtil videre.

Brugbart svar (1)

Svar #5
21. august 2017 af mathon

cirklen
$\small (x-3)^2+(y+2)^2=5^2$ har i punktet $\left ( 6,-6 \right )$
tangenten
$\small (6-3)(x-3)+(-6+2)(y+2)=5^2$

$\small 3(x-3)-4(y+2)=5^2$

$\small 4(y+2)=3(x-3)-25$

$\small 4(y+2)=3x-34$

$\small y+2=\tfrac{3}{4}x-\tfrac{17}{2}$

$\small y=\tfrac{3}{4}x-\tfrac{21}{2}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. august 2017 af mathon

Tredje del:
Den søgte cirkels centrum kan både lige i t's positive og negative halvplan, som
bl.a. har normalvektor:

$\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\ -1 \end{pmatrix}$ $\left | \overrightarrow{n} \right |=1{.}25$

C findes af

$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OR}\mp r\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}$ hvor er røringspunktet (16,14)

$\overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix} 16\\14 \end{pmatrix}\pm 10\cdot \frac{\overrightarrow{n}}{\left | \overrightarrow{n} \right |}=\begin{pmatrix} 16\\14 \end{pmatrix}\pm 10\cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\\-\frac{4}{5} \end{pmatrix}=\left\{\begin{matrix} \begin{pmatrix} 22\\6 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 10\\22 \end{pmatrix} \end{matrix}\right.$

Da et punkt har samme koordinater som sin stedvektor
haves:
C_1=(22,6) C_2=(10,22)

cirkelligninger:
(x-22)^2+(y-6)^2=10^2

(x-10)^2+(y-22)^2=10^2

Brugbart svar (1)

Svar #7
22. august 2017 af mathon

Til noter:
tangentligning
detaljer:

  En tangent til
cirklen
   $\small (x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
   i punktet (x_o,y_o)
   har ligningen:
   $\small (x_o-a)(x-a)+(y_o-b)(y-b)=r^2$

Skriv et svar til: Bestemmelse af ligning for cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.