Matematik

Har Brug For HJÆLP

17. januar 2018 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej Derude.

Jeg beder hjælp til alle jer derude, som har en ide om mål teori.
Hvis nogen derude har en ide, skriv venligst det du ved. Det vil hjælpe ligegyldigt hvad svaret er.

Opgaven lyder:

Betragt funktionen:

$f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} \ \textbf{1}_{[-n,n) \times \ [-n, n)}(x) \ \ x \in \mathbb{R}^2$

Lad $\lambda^2$ betegne Lebesgue målet på $(\mathbb{R}^2,\mathcal{B}(\mathbb{R}^2)).$

1) For hvert $\epsilon \geq0$    betragt mængden   $A_{\epsilon} = \{x \in \mathbb{R}^2 | f(x) > \epsilon\}$

Vis at $\lambda(A_{\epsilon}) < \infty$ , for alle $\epsilon >0$ .
Bestem $\lambda(A_0)$ .

2)  (d) Lad nu $g:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^+$ være en vilkårlig målelig funktion, og for hvert $\epsilon \geq 0$
sæt    $B_{\epsilon} = \{x \in \mathbb{R}^2 | g(x) > \epsilon \}$ .
Vis at

$\lim_{n\to \infty}\lambda^2(B_{1/n}) = \lambda(B_0)$
Der vides, at
$\int f \ d\lambda^2 = \frac{2}{3} \ \pi^2$ , og der vides også at $0< f(x) < \infty$
(det er regnet i en tidligere opgave)

Hvad har jeg forstået indtil videre?
1) Har bestemt $\lambda(A_0)$ på følgende måde

$A_0 = \{ x \in \mathbb{R}^2 | f(x) > 0 \} \ \ \text{for} \ \epsilon =0\\ A_{\epsilon} = \{x \in \mathbb{R}^2 | f(x) > \epsilon\} \ \ \text{for} \ \epsilon > 0$
Der vides, at $f(x)>0$
Så må $A_0 = \mathbb{R}^2$
Så må $\lambda(A_0)=\lambda(\mathbb{R}^2)= \infty$
Men kan ikke løse resten af opgave 1)

I opgave 2 er helt lost.

Har tænkt mig at bruge et lemma:
Let $(X, \mathcal{A})$ be a measure space and $\mu : \mathcal{A}\to [0, \infty]$ be an additive set function such that $\mu(\emptyset)=0$ . Then $\mu$ is a measure if and only if, $\mu$ is continous from below, i.e. if $A_n \in \mathcal{A}$ and
$A_n \uparrow A$ , then $\mu(A)= \sup_{n\in \mathbb{N}} \mu(A_n)= \lim_{n\to\infty}\mu(A_n)$
Men jeg er ikke i stand til at bruge lemma-en .

Jeg ser frem at høre fra nogen derude.
På forhånd Tak

Skriv et svar til: Har Brug For HJÆLP

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.