Matematik

Gøre prøve - differentialligning

19. januar 2018 af frederasmussen - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg har problemer med at få højresiden til at give det samme som venstresiden i denne opgave (se vedhæftet fil).

Kan nogen hjælpe?

På forhånd mange tak"

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2018-01-19 kl. 15.06.43.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. januar 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. januar 2018 af mathon

Hvis $\small \small y=xe^x+3x\Leftrightarrow xe^x=\mathbf{\color{Magenta} y-3x}\Leftrightarrow e^x=\mathbf{\color{Teal} \tfrac{y}{x}-3}$
er
$\small \mathbf{\color{Red} y{\, }'}=1\cdot e^x+xe^x+3=\mathbf{\color{Magenta} xe^x}+ \mathbf{\color{Teal} e^x}+3=y-3x+\tfrac{y}{x}-3+3=\mathbf{\color{Red} y+\tfrac{y}{x}-3x}$

hvorfor
   $\small y=xe^x+3x$
er en løsning til differentialligningen $\small y{\, }'=y+\tfrac{y}{x}-3x$

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. januar 2018 af mathon

eller:
$\small f{\, }'(x)=1\cdot e^x+x+3\cdot e^x=xe^x+e^x+3$

…
$\small y{\, }'=xe^x+3x+e^x+3-3x=xe^x+e^x+3$

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. januar 2018 af Mathias7878

Dvs. du skal altså først differentiere f(x) og erstatte f'(x) med y'. Derefter skal du erstatte y med f(x). Hvis det giver det samme på højre siden, som det gør på venstre siden, så er f(x) en løsning til differentialligning, hvilket er blevet vist i #2

- - -

Svar #5
23. januar 2018 af frederasmussen

Jeg tror at den tilgang vi har lært er en smule anderledes, så det forvirrer mig lidt, det I har skrevet.

Efter vores metode skal jeg først undersøge venstesiden: (hvor jeg differentierer f(x)).

v.s = y' = (x+1)*e^x + 3

Så skal jeg undersøge højresiden:

h.s = y + y/x -3x

Herefter skal jeg indsætte f(x), så jeg får:

h.s = y + y/x -3x = (x*e^x+3x) + ((x*e^x+3x)/x) - 3x

Herfra kan jeg ikke rigtigt komme videre...(altså med at forkorte i udtrykket)

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. januar 2018 af Mathias7878

Vi starter med at finde f'(x). Vi ser, at xe^x er et produkt, hvorfor vi bliver nødt til at anvende produktreglen:

$\small (f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$

dvs

$\small f'(x) = 1\cdot e^x+x\cdot e^x+3 = {\color{Red} e^x+x\cdot e^x+3}$

Så udregner vi højre siden, hvor y erstattes med f(x), dvs:

$\small f(x)+\frac{f(x)}{x}-3x = x \cdot e^x+3x+\frac{x\cdot e^x+3x }{x}-3x = x\cdot e^x+\frac{x\cdot (e^x+3)}{x}$

$\small \small = x\cdot e^x+e^x+3 = {\color{Red} e^x+x\cdot e^x +3}$

hvilket er akkurat det samme som f'(x), hvorfor f(x) er en løsning til differentialligningen.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #7
24. januar 2018 af mathon

#5
Genlæs #3.

Skriv et svar til: Gøre prøve - differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.