Matematik

Ubestemt integral uden hjælpemidler

17. februar 2018 af Jegvedingenting - Niveau: A-niveau

Hej.

Hvad vil den mest simple måde at løse dette ubestemte integrale være på?:

$\int \frac{x^2-4}{x(x-2)}dx$

Brøken driller mig fordi den indeholder både x og tal, som jeg ved, at man ikke bare kan mikse sammen.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. februar 2018 af mathon

$\small \int \frac{x^2-4}{x(x-2)}dx\; \; \; \; \; \; x\neq2$

$\small \int \frac{\left (x+2 \right )\cdot \left ( x-2 \right )}{x(x-2)}\, \mathrm{d}x$

$\small \int \left (1+\tfrac{2}{x} \right )\, \mathrm{d}x$ ...

Svar #2
17. februar 2018 af Jegvedingenting

Hej mathon.

Trin 2 er smart kan jeg se, da andet led forsvinder af sig selv. Men hvis jeg ikke er så smart som dig og kan tænke mig frem til det, hvordan kunne jeg så gøre det?

Kan trin 2 opstilles anderledes? Kan desværre godt se at dit forslag er elegant, men det kræver jo at man kan 'se' det for sig..den udvidelse af x^2-4 og nævneren.. Resten kan jeg heldigvis godt..

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. februar 2018 af mathon

Du kunne bruge polynomiers division:

                  $\small \underline{x^2-2x}|\; x^2-4|\underline{1+\tfrac{2x-4}{x^2-2x}}$
                                $\small \underline{x^2-2x}$
                              $\small 2x-4$

$\small \textup{hvor}$
$\small \frac{2x-4}{x^2-2x}=\frac{2(x-2)}{x(x-2)}=\frac{2}{x}$

Svar #4
17. februar 2018 af Jegvedingenting

Det skal jeg lige have kigget på, tak for hjælpen indtil videre.

Brugbart svar (1)

Svar #5
17. februar 2018 af ringstedLC

"Mathon" er smart som du skriver, men selv om man har dit brugernavn, så kender du forhåbentligt til de tre kvadratsætninger, når du har skrevet "Videregående/Universitet" i din profil:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-c/tal-og-regnearter/kvadratsatningerne

De to første har du nok brugt adskillige gange, men det er den tredie, der her er mest interessant. Samtidig er det formentlig den, der bruges mindst i almindelig hovedregning. "Produktet af to tals sum og differens er kvadratet på første led minus kvadratet på andet led", ex:

$\begin{align*} (a+{\color{Red} b})(a-{\color{Red} b})=&\;a^2-{\color{Red} b}^2\\ (25+{\color{Red} 2})(25-{\color{Red} 2})=&\;25^2-{\color{Red} 2}^2=27\cdot 23=621\\ (20-{\color{Red} 1})(20+{\color{Red} 1})=&\;20^2-{\color{Red} 1}^2=19\cdot 21=399\\ (x+{\color{Red} 2})(x-{\color{Red} 2})=&\;x^2-{\color{Red} 2}^2=x^2-4 \end{align}$

Skriv et svar til: Ubestemt integral uden hjælpemidler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.