Matematik

Differentiation på begge sider af lighedstegnet

09. april 2018 af Yipikaye - Niveau: Universitet/Videregående

Hej, hvis man har følgende ligninger

$\sigma (\tau )=\sigma _{0}*sin(\omega \tau )$ , $\varepsilon (\tau )=\varepsilon _{0}*sin(\omega \tau )$

Som man derefter indsætter i følgende funktion

$\sigma (\tau )=\eta *\frac{d\varepsilon (\tau )}{d\tau }$

Skal man så differentiere på begge sider af lighedstegnet? Så der dermed kommer til at stå følgende.

$\sigma (\tau )=\sigma _{0}*sin(\omega \tau )=\eta *\frac{\varepsilon _{0}*sin(\omega \tau )}{d\tau }$

$\sigma (\tau )=\sigma _{0}*\omega *cos(\omega \tau )=\eta *\varepsilon _{0}*\omega*cos(\omega \tau )$

$\sigma (\tau )=\sigma _{0}*\omega *sin(\omega \tau +\frac{\pi }{2})=\eta *\varepsilon _{0}*\omega*sin(\omega \tau +\frac{\pi }{2})$

$\varepsilon (\tau )=\varepsilon _{0}*\omega*sin(\omega \tau+\frac{\pi }{2})=\frac{1}{\eta }*\sigma _{0}*\omega*sin(\omega \tau +\frac{\pi }{2})$

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. april 2018 af peter lind

Det ser lidt mærkelig ud. Hvad har det at gøre at differentiere på begge sider af lighedstegnet. Som det er stillet op er det kun for nogle bestemte værdier af τ, der holder. Kan vi ikke få opgaven en ordret ?

Svar #2
09. april 2018 af Yipikaye

Der er ikke nogen opgave som sådan. Det er blot mig der sidder og kæmper med noget materialelære, hvori disse ligninger indgår. Som det ses differentiere jeg på begge sider af lighedstegnet i det at sin(wt) bliver til w*cos(wt) da det er en sammesat funktion. Bogen som jeg anvender hedder Dynamic mechanical analysis - A practical introduction. Og jeg befinder mig ved begyndelsen af kapitel 5. Hvis der er et forum for folk med interesse for materialelære så kunne jeg godt tænke mig at vide det for jeg sidder lidt fast med nogle ligninger.

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. april 2018 af Anders521

Som det ses differentiere jeg på begge sider af lighedstegnet i det at sin(wt) bliver til w*cos(wt) da det er en sammesat funktion

... Så du siger at

$\frac{\textup{d}\sigma (t)}{\textup{d}t}=\sigma_0\, \textup{cos}(\omega t)\, \omega$ .

Men ifølge linket http://sv.20file.org/up1/608_0.pdf er relationen mellem $\varepsilon$ og $\sigma$ givet ved

$\varepsilon (t)=\eta \, \frac{\textup{d}\sigma(t)}{\textup{d}t}$ .

Men hvad er det du prøver at nå frem til?

Svar #4
10. april 2018 af Yipikaye

Hej igen.

Det som jeg prøver at nå frem til er vel egentlig the complex shear modulus som noteres med et G.

Nu er det second edition som jeg bruger af bogen dynamic mechanical analysis - A practical introduction af Kevin P. Menard og de formler som jeg taler om står i begyndelsen af kapitel 5. Men jeg kan se at du har fundet selvsamme formler i kapitel 4 i første udgave af bogen.

Det er rigtigt at ifølge bogen giver denne sammenhængen med tøjningen og spændingen under viskøse forhold som vist nedenunder

$\varepsilon (\tau )=\eta *\frac{\sigma (\tau )}{d\tau }$

Og ikke

$\sigma (\tau )=\eta *\frac{\varepsilon (\tau )}{d\tau }$

Men jeg har set flere steder på youtube at det er spændingen(stress) som stiger proportionalt tøjningsraten(strainrate) og ikke omvendt. Prøv at søge på viscoelastic models hvormed en youtube video kommer frem.

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. april 2018 af Anders521

Ifølge linket i #3 er den complex shear modulus (eller csm) givet ved

eller $\small \eta ^*=\eta'-i\eta''$

hvor den sidste skrivemåde angiver csm i form af fasekomponenter. Og ... er det disse udtryk du gerne vil udlede ved brug af $\small \sigma$ og $\small \varepsilon$ ?

Svar #6
11. april 2018 af Yipikaye

Hej igen.

Ja det er lige præcis dem(fasekomponenterne) som jeg gerne vil udlede ved brug af $\sigma$ og $\varepsilon$ .

Skriv et svar til: Differentiation på begge sider af lighedstegnet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.