Matematik

19. september 2018 af kgsklo - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle
Nogen som kan hjælpe mig med spørgsmål 3 i den vedhæftede fil?

Tak på forhånd

Vedhæftet fil: IMG_3801.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2018 af guuoo2

Svar #2
19. september 2018 af kgsklo

...

Svar #3
19. september 2018 af kgsklo

Billedet af opgaven er lagt ovenpå hele tråden, så kan ikke se dit svar. Hmmmm?

Brugbart svar (0)

Svar #4
19. september 2018 af swpply (Slettet)

Hej paraply2640,

Delopgave (a), metode 1: Den mest oplagte og direkte måde at vise at

(1) $x_n = \alpha(1+\sqrt{3})^n + \beta(1-\sqrt{3})^n$

er en løsning til den rekursive ligning

(2) $x_n = 2(x_{n-1} + x_{n-2})$

er ved direkte substitution af (1) ind i (2) og derved tjekke at (1) er en løsning til (2). For at hvise det sidste –nemlig at (1) er den generelle løsning til (2) – skal du blot vise at løsningen

(3) $x_n^+ = (1+\sqrt{3})^n$

er lineær uafhængig af løsningen

(4) $x_n^- = (1-\sqrt{3})^n$ .

Hvorfor at linearkombination af $x_n^+$ og $x_n^-$ er den genneralle løsning til (2), eftersom (2) er en linear rekursive ligning af anden orden.

Delopgave (a), metode 2: Lad $\mathcal{S}$ benævne den linear forward shift operator der er defineret ved

(5) $x_n = \mathcal{S}x_{n-1}$ ,

hvorfor specielt at

(6) $x_n = \mathcal{S}^{n-1}x_1$

Ved substitution af (5) ind i (2) har du at

(7) $\mathcal{S}^2x_{n-2} = 2\cdot(\mathcal{S} + 1)x_{n-2}$

Hvorfor at operatoren $\mathcal{S}$ nødvendigvis må opfylde ligningen

(8) $\mathcal{S}^2 - 2\cdot\mathcal{S} - 2 = 0$

Denne ligning kan faktoriseres på følgende hvis

(9). $\big(\mathcal{S}-(1-\sqrt{3})\big)\cdot\big(\mathcal{S} - (1+\sqrt{3})\big) = 0$

Her af kan du slutte at (3) og (4) er løsninger til (2). Igen hvis du at (3) og (4) er lineær uafhængig, hvorfor at (1) er den generalle løsning til (2).

---- Skriv når du har læst og forstået ovenstående eller hvis du skulle havde spørgsmål dertil. Vi
fortsætter med resten af delopgave (a) (og de resterende delopgaver) derefter.

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. september 2018 af swpply (Slettet)

NB. for at hvis lineær uafhængighed kan du bruge casoratian, den er til linære rekursive ligninger hvad wronskian determinant er for linære ODE's.

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. september 2018 af guuoo2

Svar #7
20. september 2018 af kgsklo

Tusinde tak for hjælpen swpply!
Jeg mangler nu kun hjælp til opgave 3. Jeg tænker umiddelbart i den første del, at alpha skal være 0 og beta kan antage alle tal for konvergens.
Den anden kan jeg ikke løse

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. september 2018 af swpply (Slettet)

#7
Jeg tænker umiddelbart i den første del, at alpha skal være 0 og beta kan antage alle tal for konvergens.

Det er korrekt :-)

Den anden kan jeg ikke løse

Begynd med at se på størrelsen

$\lim_{n\rightarrow\infty}\bigg\vert\frac{\beta(1-\sqrt{3})^{n+1}-0}{\beta(1-\sqrt{3})^n-0}\bigg\vert = \sqrt{3}-1<1$

heraf kan du slutte at den generalle løsning $(\text{for} \alpha=0\text{ og }\beta \in\mathbb{R})$ konvergere lineært med convergence rate $\sqrt{3}-1$ .

Husk, konvergens ordenen er en ydeligere karakterisering af følger der konvergere superlinearly.

Svar #9
20. september 2018 af kgsklo

Du mener self 1-kvadratrod(3), men tusinde tak for hjælpen! Det hele giver god mening!

Brugbart svar (0)

Svar #10
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Nej,

$\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\bigg\vert\frac{\beta(1-\sqrt{3})^{n+1}}{\beta(1-\sqrt{3})^{n}}\bigg\vert &= \lim_{n\rightarrow\infty}\big\vert1-\sqrt{3}\big\vert \\ &= \big\vert1-\sqrt{3}\big\vert \\ &= \sqrt{3} - 1 \end{align*}$

eftersom $1-\sqrt{3}<0$ .

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Du skal iøvrigt også vise (hvis du ikke allerede har gjort dette) at tal følgen $\{\beta(1-\sqrt{3})^n\}_{n\in\mathbb{N}}$ har $0$ som grænseværdi for ethvert $\beta\in\mathbb{R}$ . Det er det $0$ som der (kort) ingår i svar #8.

Svar #12
20. september 2018 af kgsklo

Det er mig, som har lavet en fejl i mine mellemregninger. Tusinde tak!

Brugbart svar (0)

Svar #13
20. september 2018 af swpply (Slettet)

Velbekommen ;-)

Svar #14
23. september 2018 af kgsklo

Kan du hjælpe mig med opgave 2 forresten. Jeg er sikker på, at det jeg har lavet ikke er helt rigtig :)

Brugbart svar (0)

Svar #15
23. september 2018 af swpply (Slettet)

Vi ved fra delopgave (1) at den generalle løsning er

$x_n = \alpha(1+\sqrt{3})^n + \beta(1-\sqrt{3})^n$

Dermed har du specielt at

$\begin{align*} \alpha(1+\sqrt{3}) + \beta(1-\sqrt{3}) = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} \alpha(1+\sqrt{3})^2 + \beta(1-\sqrt{3})^2 = 1-\sqrt{3} \end{align*}$

for $(x_1,x_2) = (1,1-\sqrt{3})$ . Du har nu to ligninger med to ubekendte, nu er der bare tilbage at "crank the wheel" og bestemme $\alpha$ og $\beta$ .
______________________________________________________

Har du vist stabilitet, som der bliver spurgt om til sidst i delopgave (1)??

Svar #16
23. september 2018 af kgsklo

Yep, det har jeg og tusinde tak !

Svar #17
23. september 2018 af kgsklo

Hej igen - kommer lige i tvivl om dit svar i #8.
Kan jeg bare konkludere, at den konvergensordnen er lineær, eller?
Forstår ikke din bemærkning med hensyn til det superlineære?

Brugbart svar (0)

Svar #18
23. september 2018 af swpply (Slettet)

Lad $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ være en talfølge, da gælder der at følgen konvergere lineær til $L$ såfremt at

$r = \lim_{n\rightarrow\infty}\bigg\vert\frac{x_{n+1}-L}{x_n -L}\bigg\vert,\qquad \text{for }0<r<1$

Hvis $r = 1$ siges følgen at konvergere sublinearly imod $L$ , hvorimod at hvis $r = 0$ siges følgen at konverge superlinearly imod $L$ . Hvis følgen konvergere superlinearly imod $L$ definere man konvergens ordenen $p$ for at skelne mellem superlinearly konvergens rater. Man definere og logaritmisk konvergens for sublinearly konvergerende følger.

Pointen er at det ikke har nogen mening at snakke om konvergens ordenen når følgen konvergere lineær.

Svar #19
23. september 2018 af kgsklo

Ok det giver god mening det du skriver, og jeg har forstået din pointe, men..., det blier lidt svært at skrive det du skriver, da jeg ikke rigtig har noget af referere det til, eksempelvis vores bog.
Jeg holder mig bare til at konkludere, at for disse værdier af alpha og beta konvergerer den lineært :)

Brugbart svar (0)

Svar #20
23. september 2018 af swpply (Slettet)

#19
Jeg holder mig bare til at konkludere, at for disse værdier af alpha og beta konvergerer den lineært :)

Det vil jeg også mene er den helt korrekte konklussion :-)

Forrige 1 2 Næste

Der er 24 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.