Hjælp til opgave

Lad tage en egenskab om A af gangen.

Har du vist at A er ikke-tom (hint, er 1 et element i A)?

Hmm, jeg forstår det således, at hvis A ikke skal være tom, da være n =>2 

Hvis jeg sætter n =1, da får nemlig 1-(1/1) = 0, som ikke kan være indeholdt i rationelle tal ( da p/q, q >0)

Undksyld hintet i #1 skulle selvfølgelig være "er 0 et element i A".

 er afgjort et element i de rationale tal, eftersom at  og der for alle  gælder at .

Husk at de rationale tal er defineret som;    

–– Er det nu klart at A er en ikke-tom mængde?

Ah ok, definitionen af rationelle tal havde jeg ikke lige taget i mente 

Hvad betyder opadtil og nedadtil begrænset?

En mængde  er opadtil begrænset hvis og kun hvis at der findes et  således at  for alle .
Tilsvarende har du at  er nedadtil begrænset hvis og kun hvis at der findes et  således at  for alle .

 er opadtil begrænset:
Begynd med at observer at der for alle  gælder at

                                         .

Træk nu  fra på begge sider og forkort med , da har vi vist at

for alle . Hvorfor at  er en øvre grænse for  og dermed er  opadtil begrænset.

–– Prøv om du kan give et tilsvarende ræsonnement og dermed vise at  er et nedre grænse for  og
     dermed konkludere at  er nedadtil begrænset. Skriv gerne dette ræsonnement her i tråden hvis du
     ønsker at jeg ser om det er gyldigt ;-)

–– Skriv selvfølgelig også hvis du enten har spørgsmål til ovenstående eller til det at vise at  er en nedre
     grænse for .

Hint. For at vise at  er en nedre grænse for , begynd med at der for alle  gælder at .

Husk, vi mangler stadig delopgave 2).

ah ha, så det vil sige, at så længe der eksiterer som minimum et element, der kan der ikke være tale om den tomme mængde:

Men er fremgangsmåde ikke er blot den samme, hvor a = n, og c er f.eks n - 1? ( c<=a)?

#9

ah ha, så det vil sige, at så længe der eksiterer som minimum et element, der kan der ikke være tale om den tomme mængde:

Hvad? Nej. Jeg troede at vi var kommet videre fra dette. Svar #6 og #7 handler om at vise at der eksitere øvre og nedre grænser for . Dette er sidste del af første delopgave.

A er ikke-tom:
At mængden  ikke er tom følger ved den trivielle observation at , hvorfor at  indeholder mindst ét element. Altså kan  ikke være tom.

---- Rettelse. Undskyld, det er mig der læste hvad du skrev i #9 forkert. Undgå at brug minimum et element  (da minimum for en mængde er en matematisk operation) brug istedet mindst ét element.

Jojo, vi var gået videre, #9 var blot et spørgmål til #4 :-) Blev også forstået, som du skrev i #10

#11

Jojo, vi var gået videre, #9 var blot et spørgmål til #4 :-) Blev også forstået, som du skrev i #10

Ja, undskyld det var mig der læste forkert af hvad skrev i #9.

Du har fuldkommen ret i hvad du skriver i #9 :-)

#9

Men er fremgangsmåde ikke er blot den samme, hvor a = n, og c er f.eks n - 1? ( c<=a)?

Jeg forstår ikke hvad du prøver at nå frem til her?

Omhandler dette at vise at A er nedadtil begrænset?

Ræsonnement til at vise, at 0 er en nedre grænse for A:

Jeg starter med at observerer n tilhører mængden af naturlige tal,  og at n er lig eller større 1 (som du nævnte)

Heraf ved jeg, at a, som har værdien a = n (fra forrige opgave), skal være større eller lig c, dvs. c kan f.eks. være n-1, dvs. n - 1 <= n, er det korrekt?

#14 Nej det er for at sige det mildt, noget være snusk du er ude i. Det er faktisk meget simpelt og helt identisk med hvad jeg gjorde i #6 (du forstår godt beviset i #6 ikke sandt?).

Jeg starter med at observerer n tilhører mængden af naturlige tal

Dette er ikke en observation, det er givet.

 Heraf ved jeg, at a, som har værdien a = n (fra forrige opgave), skal være større eller lig c

Det er her det bliver snusket. »a = n (fra forrige opgave)« dette er lodret forkert. Det a som fremgik af #6 er et generalt element i mængden A, hvorfor at a er på formen for et eller andet . Altså har du at og dermed ikke at .

dvs. c kan f.eks. være n-1, dvs. n - 1 <= n, er det korrekt?

Nej, c kan være alle tal minder end 0.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

 er nedadtil begrænset: 
Begynd med at der for alle  gælder at

Altså har vi hermed vist at der for alle  gælder at

                             .

Hvorfor at  er en nedre grænse for  og dermed er  nedadtil begrænset.

1) Da f.eks. 0 ∈ A, kan A ikke være tom. Endvidere er 0 ≤ x < 1 for all x ∈ A (hvorfor?), så A er begrænset.

#16

1) Da f.eks. 0 ∈ A, kan A ikke være tom. Endvidere er 0 ≤ x < 1 for all x ∈ A (hvorfor?), så A er begrænset.

Hvordan bidrager dette svar med noget nyt og som går udover hvad der ikke allerede er vist i større detalje tideligere i tråden?

#17     Et facit uden at forklare hvorfor. Beklager, hvis jeg ikke har forklaret noget nyttigt.

[Man kan alternativt vise på følgende måde: sættes f(x) = 1 - 1/x, kan man vise, at f er voksende på (0, ∞). Derved fås f(1) ≤ f(x) for alle x ≥ 1. På den anden side, for alle x > 0, har man 1/x > 0, og dermed er f(x) < 1.]

Virkelig stort arbejde du har lavet, jeg takker mange gange :-)

Jeg har dog en række spørgsmål, som jeg håber du har lyst til at svare på:

Hvad er en rationale kandidat? (formoder de rationale kandidater er "gættet" til hhv. 1 og 0)

Kan du prøve at uddybe (20)?