Matematik

Hjælp til opgave

24. september kl. 11:25 af PiroAndersen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg savner lidt hjælp til denne opgave, håber der er en venlig sjæl, der kan hjælpe

Hilsen Piro

Vedhæftet fil: Opgave 2.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. september kl. 12:24 af swpply


Brugbart svar (0)

Svar #2
24. september kl. 12:25 af swpply

Lad tage en egenskab om A af gangen.

Har du vist at A er ikke-tom (hint, er 1 et element i A)?


Svar #3
24. september kl. 12:36 af PiroAndersen2

Hmm, jeg forstår det således, at hvis A ikke skal være tom, da være n =>2 

Hvis jeg sætter n =1, da får nemlig 1-(1/1) = 0, som ikke kan være indeholdt i rationelle tal ( da p/q, q >0)


Brugbart svar (0)

Svar #4
24. september kl. 12:42 af swpply

Undksyld hintet i #1 skulle selvfølgelig være "er 0 et element i A".

0 er afgjort et element i de rationale tal, eftersom at 0\in\mathbb{Z} og der for alle n\in\mathbb{N} gælder at \tfrac{0}{n} = 0.

Husk at de rationale tal er defineret som;    \mathbb{Q}=\{\tfrac{m}{n}\mid m\in\mathbb{Z}\,\wedge\,n\in\mathbb{N}\}

–– Er det nu klart at A er en ikke-tom mængde?


Svar #5
24. september kl. 12:53 af PiroAndersen2

Ah ok, definitionen af rationelle tal havde jeg ikke lige taget i mente 

Hvad betyder opadtil og nedadtil begrænset?


Brugbart svar (0)

Svar #6
24. september kl. 13:05 af swpply

En mængde A er opadtil begrænset hvis og kun hvis at der findes et b således at a\leq b for alle a\in A.
Tilsvarende har du at A er nedadtil begrænset hvis og kun hvis at der findes et c således at c\leq a for alle a\in A.

A er opadtil begrænset:
Begynd med at observer at der for alle n\in\mathbb{N} gælder at

                                         n\leq n+1.

Træk nu 1 fra på begge sider og forkort med n, da har vi vist at

                       n\leq n+1 \quad\Leftrightarrow\quad 1-\frac{1}{n}\leq 1

for alle n\in\mathbb{N}. Hvorfor at 1 er en øvre grænse for A og dermed er A opadtil begrænset.

–– Prøv om du kan give et tilsvarende ræsonnement og dermed vise at 0 er et nedre grænse for A og
     dermed konkludere at A er nedadtil begrænset. Skriv gerne dette ræsonnement her i tråden hvis du
     ønsker at jeg ser om det er gyldigt ;-)

–– Skriv selvfølgelig også hvis du enten har spørgsmål til ovenstående eller til det at vise at 0 er en nedre
     grænse for A.


Brugbart svar (0)

Svar #7
24. september kl. 13:43 af swpply

Hint. For at vise at 0 er en nedre grænse for A, begynd med at der for alle n\in\mathbb{N} gælder at n\geq 1.


Brugbart svar (1)

Svar #8
24. september kl. 17:04 af swpply

Husk, vi mangler stadig delopgave 2).


Svar #9
24. september kl. 17:07 af PiroAndersen2

ah ha, så det vil sige, at så længe der eksiterer som minimum et element, der kan der ikke være tale om den tomme mængde:

Men er fremgangsmåde ikke er blot den samme, hvor a = n, og c er f.eks n - 1? ( c<=a)?


Brugbart svar (1)

Svar #10
24. september kl. 17:16 af swpply

#9

ah ha, så det vil sige, at så længe der eksiterer som minimum et element, der kan der ikke være tale om den tomme mængde:

Hvad? Nej. Jeg troede at vi var kommet videre fra dette. Svar #6 og #7 handler om at vise at der eksitere øvre og nedre grænser for A. Dette er sidste del af første delopgave.

A er ikke-tom:
At mængden A ikke er tom følger ved den trivielle observation at 0\in A, hvorfor at A indeholder mindst ét element. Altså kan A ikke være tom.

---- Rettelse. Undskyld, det er mig der læste hvad du skrev i #9 forkert. Undgå at brug minimum et element  (da minimum for en mængde er en matematisk operation) brug istedet mindst ét element.


Svar #11
24. september kl. 17:19 af PiroAndersen2

Jojo, vi var gået videre, #9 var blot et spørgmål til #4 :-) Blev også forstået, som du skrev i #10


Brugbart svar (0)

Svar #12
24. september kl. 17:22 af swpply

#11

Jojo, vi var gået videre, #9 var blot et spørgmål til #4 :-) Blev også forstået, som du skrev i #10

Ja, undskyld det var mig der læste forkert af hvad skrev i #9.

Du har fuldkommen ret i hvad du skriver i #9 :-)


Brugbart svar (0)

Svar #13
24. september kl. 17:26 af swpply

#9

Men er fremgangsmåde ikke er blot den samme, hvor a = n, og c er f.eks n - 1? ( c<=a)?

Jeg forstår ikke hvad du prøver at nå frem til her?

Omhandler dette at vise at A er nedadtil begrænset?


Svar #14
24. september kl. 17:28 af PiroAndersen2

Ræsonnement til at vise, at 0 er en nedre grænse for A:

Jeg starter med at observerer n tilhører mængden af naturlige tal,  og at n er lig eller større 1 (som du nævnte)

Heraf ved jeg, at a, som har værdien a = n (fra forrige opgave), skal være større eller lig c, dvs. c kan f.eks. være n-1, dvs. n - 1 <= n, er det korrekt?


Brugbart svar (1)

Svar #15
24. september kl. 17:42 af swpply

#14 Nej det er for at sige det mildt, noget være snusk du er ude i. Det er faktisk meget simpelt og helt identisk med hvad jeg gjorde i #6 (du forstår godt beviset i #6 ikke sandt?).

Jeg starter med at observerer n tilhører mængden af naturlige tal

Dette er ikke en observation, det er givet.

 Heraf ved jeg, at a, som har værdien a = n (fra forrige opgave), skal være større eller lig c

Det er her det bliver snusket. »a = n (fra forrige opgave)« dette er lodret forkert. Det a som fremgik af #6 er et generalt element i mængden A, hvorfor at a er på formen 1-\tfrac{1}{n} for et eller andet n\in\mathbb{N}. Altså har du at a\neq n og dermed ikke at a=n.

dvs. c kan f.eks. være n-1, dvs. n - 1 <= n, er det korrekt?

Nej, c kan være alle tal minder end 0.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

A er nedadtil begrænset: 
Begynd med at der for alle n\in\mathbb{N} gælder at

            \begin{align*} n\geq1 &\quad\Leftrightarrow\quad n-1\geq0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad \frac{n-1}{n}\geq 0 \\ &\quad\Leftrightarrow\quad 1 - \frac{1}{n}\geq 0 \end{align*}

Altså har vi hermed vist at der for alle n\in\mathbb{N} gælder at

                             1-\frac{1}{n}\geq0.

Hvorfor at 0 er en nedre grænse for A og dermed er A nedadtil begrænset.


Brugbart svar (1)

Svar #16
24. september kl. 22:38 af AskTheAfghan

1) Da f.eks. 0 ∈ A, kan A ikke være tom. Endvidere er 0 ≤ x < 1 for all x ∈ A (hvorfor?), så A er begrænset.


Brugbart svar (0)

Svar #17
24. september kl. 23:18 af swpply

#16

1) Da f.eks. 0 ∈ A, kan A ikke være tom. Endvidere er 0 ≤ x < 1 for all x ∈ A (hvorfor?), så A er begrænset.

Hvordan bidrager dette svar med noget nyt og som går udover hvad der ikke allerede er vist i større detalje tideligere i tråden?


Brugbart svar (0)

Svar #18
24. september kl. 23:35 af AskTheAfghan

#17     Et facit uden at forklare hvorfor. Beklager, hvis jeg ikke har forklaret noget nyttigt.

[Man kan alternativt vise på følgende måde: sættes f(x) = 1 - 1/x, kan man vise, at f er voksende på (0, ∞). Derved fås f(1) ≤ f(x) for alle x ≥ 1. På den anden side, for alle x > 0, har man 1/x > 0, og dermed er f(x) < 1.]


Brugbart svar (0)

Svar #19
25. september kl. 08:27 af swpply

Vedhæftet fil:swpply.png

Brugbart svar (0)

Svar #20
25. september kl. 17:41 af PiroAnderen

Virkelig stort arbejde du har lavet, jeg takker mange gange :-)

Jeg har dog en række spørgsmål, som jeg håber du har lyst til at svare på:

Hvad er en rationale kandidat? (formoder de rationale kandidater er "gættet" til hhv. 1 og 0)

Kan du prøve at uddybe (20)?


Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.