Matematik

Matematik

17. oktober 2018 af kgsklo - Niveau: Universitet/Videregående
Kan nogen hjælpe med opgave (ii). Har nemlig lavet det forkert, da un ikke konvergerer mod u
Vedhæftet fil: IMG_4018.JPG

Brugbart svar (0)

Svar #1
17. oktober 2018 af oppenede

Da u ∈ M+ gælder
  ∫udμ = ∫|u|dμ ≥ |∫udμ| ≥ 0 

Fatou's lemma giver
  ∫udμ ≤ lim infn 1/(1+n2) = 0

Dermed gælder
  0 ≤ ∫udμ ≤ 0   =>   ∫udμ = 0


Svar #2
17. oktober 2018 af kgsklo

Tusinde tak!
Kan du forresten også hjælpe mig med (i), og se om min opgave (iii) er rigtig :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
17. oktober 2018 af VandalS

i) er falsk. Med den ekstra antagelse, at mindst et af sættene har endeligt mål, bliver udsagnet sandt, men som det er skrevet kan det modbevises med det klassiske eksempel

A_n = [n,\infty]

Hvert delsæt har uendeligt mål, men fællesmængden er tom, idet der for ethvert reelt tal kan findes et n, der er større, hvormed der findes sæt, hvor tallet ikke er med i.

Din løsning af iii) er forkert - den sætning, du har citeret, giver implikationen i den forkerte retning (at en Riemann integrabel funktion er Lebesgue integrabel).

Som modeksempel se på f:[0,1] \to \mathbb{R},

f(x)=\begin{cases} 0, \text{hvis } x\in \mathbb{Q} \\ 1, \text{hvis } x\notin \mathbb{Q} \end{cases}

Denne funktion er Lebesgue integrabel med integral lig 1, men Riemann integralet eksisterer ikke, da den øvre og nedre Darboux sum ikke er ens, hvorfor funktionen ikke er Darboux integral og derfor heller ikke Riemann integrabel.


Svar #4
17. oktober 2018 af kgsklo

I forhold til dit eksempel i (i), betyder det så, at hvis n=1, så er værdien (1, uendelig)?
Det er nemlig der jeger i tvivl, fordi skal vi ikke have en værdi, når n er et eller andet?

Brugbart svar (0)

Svar #5
17. oktober 2018 af VandalS

Jeg mener den uendelige følge af sæt A_n = [n, \infty], n \in \mathbb{N}.

De første par sæt er

\\A_1 = [1,\infty] \\ A_2 = [2,\infty] \\ A_3 = [3,\infty] \\ A_4 = [4,\infty] \\

osv. Bemærk, at A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4 \supseteq ....


Svar #6
17. oktober 2018 af kgsklo

Tusinde tak!
Jeg troede ellers bare, at når man sat et tal ind på "n's plads", så skulle man også få et tal ud på den anden side. Ligesom funktioner :)

Skriv et svar til: Matematik

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.