Matematik

Løs differentialligning ved nålestiksmetode

19. oktober 2018 af Lang93 - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg skal bestemme den fuldstændige løsning til den lineære 1. ordens differntialligning

\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=1    for x > 0

Når jeg løser differentialligningen ved panserformlen, får jeg resultatet:

y=\frac{x}{2}+\frac{c}{x}  

Jeg vil gerne også løse den ved nålestiksmetoden, men det forvirre mig, at g(x) = 1, når man skal "gætte" på en funktion "af samme slags" som g(x). Jeg ved ikke hvilken funktion jeg skal gætte på (evt. 0. gradspolynomium?). Er der en venlig sjæl, der kan vise hvordan det løses?


Brugbart svar (1)

Svar #1
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Den tilhørende 1. ordens lineære og homogene ODE (ordinær differentialligning) er

                                   \frac{dy_h}{dx} + \frac{1}{x}y_h = 0.

Den har som bekendt den fuldstændige løsning

                                      y_h(x) = \frac{c}{x}.

Hvorfor at hvis

                            y(x) = y_h(x) + y_p(x)

har du at

                   \frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = 1 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{dy_p}{dx} + \frac{1}{x}y_p = 1.

Altså skal du blot gætte én partikulær løsning y_p(x) til ODE´en og dermed kan du slutte at

                           y(x) = \frac{c}{x} + y_p(x)

er den fuldstændige løsning.


Brugbart svar (0)

Svar #2
19. oktober 2018 af mathon

gæt
            y=k\cdot x


Brugbart svar (1)

Svar #3
19. oktober 2018 af swpply (Slettet)

Ja, eller en mere general metode (der dog vil være at skyde spruve med kanoner i dette tilfælde) er. Antag at der findes en analytisk partikulær løsning, hvorfor at

                                                        y_p(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n

og dermed (eftersom at enhver partikulær løsning er en løsning)

                     \begin{align*} \frac{dy_p}{dx} + \frac{1}{x}y_p = 1 \quad\Leftrightarrow\quad 1 &= \sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1} + \sum_{n=0}^\infty a_nx^{n-1} \\ &= \frac{a_0}{x} + \sum_{n=1}^\infty a_n(n+1)x^{n-1} \\ &= \frac{a_0}{x} + 2a_1 + 3a_2x +\ldots \end{align*}

men eftersom at Taylorrækken for en analytisk funktion er entydigt bestemt har du at (ved at sammenligne koefficenter til samme potens af x på hvert side af lighedstegnet)

                                                            \begin{align*} a_0 &= 0 \\ 2a_1 &= 1 \\ a_3 &= 0 \\ &\ \,\vdots \\ a_n &= 0 \\ &\ \,\vdots \end{align*}

Hvorfor at

                                                \begin{align*} y_p(x) &= \sum_{n=1}^\infty a_nx^2 \\ &=\frac{1}{2}x \end{align*}

er en partikulær løsning til ODE´en.


Svar #4
19. oktober 2018 af Lang93

Tusinde tak til jer begge. Nu fik jeg løst den.


Skriv et svar til: Løs differentialligning ved nålestiksmetode

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.