Matematik

Mystisk opgave, sansynlighed

06. december kl. 21:28 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude.

Jeg prøver, at løse en opgave, men opgaven forvirrer mig aller mest.
Opgaven er svært og mystisk for mig.
Vil nogen derude prøve at hjælpe med opgaven?

På forhånd tak.


Opgaven

Vi skal lave et eksempel på identisk fordeling, men afhængig Bernoulli    random variabler

X_1, X_2,...,X_n \ \text{altsaa} \ (X_i \in \{ 0,1 \})  sådan at

\mathbb{P} \left( \left| \mu - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \right| \geq \frac{1}{2} \right) =1     
hvor     

\mu = \mathbb{E}[X_i]

Skal bemærkes i dette tilfælde, at  

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_i

konvergerer ikke til μ, når n går mod uendelig.
Eksemplet viser, at uafhængighed er afgørende for konvergens mellem Empirisk middelværdi og den  forventet værdi


Brugbart svar (1)

Svar #1
06. december kl. 23:34 af SådanDa

Du kan prøve at overveje hvordan det ser ud hvis du lader X1=X2=X3=...=Xn med sandsynlighed 1.


Svar #2
06. december kl. 23:47 af Rossa

Hvad vil    \mathbb{E}[X_i] ?

Vil \mu =\mathbb{E}[X_i] = p= 1?

eller 

\mu = \mathbb{E}[X_i] = p= \frac{1}{2}?


Brugbart svar (0)

Svar #3
06. december kl. 23:50 af SådanDa

Man kunne vælge p=1/2? Så er alle X'erne være 0 med sandsynlighed 1/2 og 1 med sandsynlighed 1/2.


Svar #4
07. december kl. 00:17 af Rossa

Betyder det ikke, at hvis n bliver større og større, så vil \frac{1}{n}= \sum_{i=1}^{n} X_i \neq \mu   ?

Det ville gælde i dit første svar, ikke?

Hvis vi lader alle X'erne være 0 med sandsynlighed 1/2 og  alle X'erne være1 med sandsynlighed 1/2, 
ville det ikke betyde \frac{1}{n}= \sum_{i=1}^{n} X_i = \mu = \frac{1}{2}  ?


Brugbart svar (0)

Svar #5
07. december kl. 00:26 af SådanDa

Du blander det lidt sammen tror jeg. Når du skriver \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i er det jo en stokastisk variabel, den er er ikke lige med en 1/2.

Men hvis vi lader X1=...=Xn, og X1 er bernoullifordelt med p=1/2, så er X'erne identisk fordelte, og

μ=E[Xi]=1/2. Summen

\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = 0 Hvis X1=0  og \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n}\cdot n =1, hvis X1=1. Bemærk at i begge tilfælde har du at \big|\frac{1}{2}-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\big|\geq \frac{1}{2}


Svar #6
07. december kl. 08:38 af Rossa

Hvis man lader X_1= X_2=....=X_n = 1 eller 0, så har
vi betingelserne opfyldt?
Hvad hvis vi lader sandsynligheden være 1 i stedet for 1/2,
hvad ville der ændre ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
07. december kl. 09:06 af SådanDa

Ja, altså hvis X1=...=X(med sandsynlighed 1) er de jo åbenlyst identisk fordelte!

Hvis p=1 har du jo at Xi=1 næsten sikkert. Så gennemsnittet af X'erne er 1 næsten sikkert. Men \mu = \mathbb{E}[X_i]=1, så

 \big| 1-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \big| =0, så det er ikke så godt for dit eksempel!


Svar #8
08. december kl. 16:02 af Rossa

Mange tak for hjælpen


Skriv et svar til: Mystisk opgave, sansynlighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.