Hyperbolske funktioner

∫_b^c √(1 + (-sinh(x/a))²) dx =

∫_b^c √(1 + sinh²(x/a)) dx =

∫_b^c cosh(x/a) dx =

[a*sinh(x/a)]_b^c =

a(sinh(c/a) - sinh(b/a))

Kan du forklare mig med ord, hvad det er der sker?

Der er en formel der siger

cosh²x - sinh²x = 1

så isolerer jeg coshx:

cosh x = √( 1 + sinh²x )

Det er dette jeg bruger til at omskrive integralet til ∫ cosh(x/a) dx

Hvad er det endelige resultat? Er lidt forvirret

a(sinh(c/a) - sinh(b/a))

Jeg tror vist ikke lige det kan reduceres yderligere.

Jeg forstår ikke helt hvordan det bliver (c/a) og (b/a)

Du indsætter først den øvre grænse c på x's plads. Derefter indsætter du den nedre grænse b på x's plads og trækker det fra hinanden. Altså

∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)

Vil du se om dette ser rigtigt ud? Jeg forstår ikke helt hvordan a'et kommer tilbage?

Øverst er grænserne på integralet a og b. Senere skifter det til b og c?

Næstsidste linje: Du skal lige huske b og c bag på den firkantede parentes: [a*sinh(x/a)]_b^c

Det med a:

Vi skal finde en stamfunktion til cosh(x/a). Altså noget som differentieret giver cosh(x/a). Vi starter med at gætte på den "modsatte" funktion, altså sinh(x/a), og så ser om vi får det rigtige når vi differentierer.

( sinh(x/a) )' = cosh(x/a) * 1/a

Vi får en faktor 1/a på som ikke skal være der. Vi justerer derfor vores gæt til a*sinh(x/a) og prøver igen.

( a*sinh(x/a) )' = a * cosh(x/a) * 1/a = cosh(x/a)

Nu får vi det rigtige, så a*sinh(x/a) er altså den rigtige løsning.