Er enhver logaritme der opfylder produktreglen og log(10)=1 nødvendigvis titalslogaritmen?

Når
            

log_a(10) = 1  <=>

a^loga(10) = a¹  <=>

10 = a¹  <=>

10¹ = a¹  <=>

a = 10

Så simpelt er det er ikke.Du skal også vise at der ikke findes andre funktioner, der opfylder produkt reglen. Funktionen f(x) = 0 opfylder faktisk produktreglen

#3

Så simpelt er det er ikke.Du skal også vise at der ikke findes andre funktioner, der opfylder produkt reglen. Funktionen f(x) = 0 opfylder faktisk produktreglen

Præcis!

Den opfylder ikke f(10) = 1, så den kan ikke bruges. Jeg var lige hurtig nok. Jeg tror også at den gæder; men jeg kan ikke bevise det

Hvis du også kræver at funktionen er differentiabel holder det. Du kan vise at f'(x) = k/x og så må den være givet ved ∫₁^xk/xdx hvor k kan bestemmes ved f(10)=1

Og hvordan vil det se ud?

(f(x+h)-f(x))/h = f((x+h)/x)/h = f(1+h/x)/h = (f (1)+h/x))/h = (0+f(h/x)/h ¨-> k/x

#0 Jeg forstår ikke spørgsmålet, som det er formuleret.
En logaritmefunktion er kendetegnet ved sit grundtal log_a(a) = 1, og for alle logaritmefunktioner gælder det, at graferne går gennem (1,0) og at de opfylder log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y) - er det det, du mener med produktreglen?

Går dit spørgsmål på, om der er andre funktioner (ikke logaritmefunktioner), der opfylder de to betingelser? Jf. #3

#0
         ...hvad meder du præcist med 'produktreglen'?
 

#9

#0 Jeg forstår ikke spørgsmålet, som det er formuleret.
En logaritmefunktion er kendetegnet ved sit grundtal log_a(a) = 1, og for alle logaritmefunktioner gælder det, at graferne går gennem (1,0) og at de opfylder log_a(x·y) = log_a(x) + log_a(y) - er det det, du mener med produktreglen?

Går dit spørgsmål på, om der er andre funktioner (ikke logaritmefunktioner), der opfylder de to betingelser? Jf. #3

Ja

# 0 Ang. overskriften:
For enhver logaritmefunktion λ_g med grundtallet g ∈ R₊ \ {1}  gælder:
λ_g(a·b) = λ_g(a) + λ_g(b)       a > 0 ∧  b > 0
λ₁₀(10) = 1  gælder kun, og kun for 10-tals logaritmen, sædvanligvis, herhjemme, betegnet som log .
Specielt er 10-tals logaritmen log defineret ved    
Når ln er analyseret, og eksistensen af den er vist, er  a l l e  logaritmefunktioner beskrevet fuldstændigt som værende proportionale med dén.

 

Hvordan analysere man In?

Du skal vide,
at