Matematik

Polynomier m. komplekse koefficienter, 7.C, E2018.

02. januar 2019 af anonym000 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Det er opgave 7.c.

Jeg kan starte med at differentiere

$g ( t ) = \left( i \cdot t ^ { 2 } + t - i \right) \cdot ( ( 1 + i ) t - i ) , t \in \mathbb { R }$

vha. produktreglen. Jeg kan også gange de to parenteser ud, og derefter differentiere hver af de seks led.

For at finde en løsning til ligningen

$g ^ \prime ( t ) = - 6 - i$

Kan jeg opstille to ligningeer

$Re({ g ^ \prime ( t ) )=Re (- 6 - i)$

$Im({ g ^ \prime ( t ) )=Im (- 6 - i)$

Når der står at der kun er en løsning kan jeg ligeså godt nøjes med at løse den simpleste.

Er der en endnu nemmere måde at gøre det på?

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar 2019 af peter lind

Du kan ikke nøjes med at løse den ene ligning. Der er nemlig i en forsatand to løsninger nemlig realdelen af løsningen og imaginærdelen af løsningen.

Nemmere du skal bare gøre som du plejer med reelle tal. De samme regler gælder. Det bliver en 2. gradsligning i t. Der kan du også benytte de almindelige løsninge formler til løsning af den

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. januar 2019 af swpply (Slettet)

Du har at

$\begin{align*} g^\prime(t) &= -3(1-i)t^2+2(2+i)t+1-2i \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} g^\prime(t) = -6-i \quad&\Leftrightarrow\quad -3(1-i)t^2+2(2+i)t+7-i = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad \bigg(t-\frac{2(2+i)}{6(1-i)}\bigg)^2 = \frac{4(2+i)^2+12(1-i)(7-i)}{36(1-i)^2} \\ &\Leftrightarrow\quad \bigg(t-\frac{1+3i}{6}\bigg)^2 = \frac{84-80i}{(-72i)} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,= \frac{20+21i}{18} \\ &\Leftrightarrow\quad (6t-1-3i)^2 = 40+42i \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\,\;= (7+3i)^2 \\ &\Leftrightarrow\quad 6t-1-3i = \pm(7+3i) \\ &\Leftrightarrow\quad 6t = \frac{1\pm7}{6} + \frac{1\pm1}{2}i \\ &\Leftrightarrow\quad \cancel{t = \frac{4}{3} + i} \ \ \vee\ \ t=-1 \end{align*}$

her tilader vi ikke den første af løsningerne idet at vi kræver at $t\in\mathbb{R}$ , hvorfor at det følger at $t=-1$ er den eneste reelle løsning til andengradsligningen.

Svar #3
05. januar 2019 af anonym000

#2
Du har at

$\begin{align*} g^\prime(t) &= -3(1-i)t^2+2(2+i)t+1-2i \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} g^\prime(t) = -6-i \quad&\Leftrightarrow\quad -3(1-i)t^2+2(2+i)t+7-i = 0 \\ &\Leftrightarrow\quad \bigg(t-\frac{2(2+i)}{6(1-i)}\bigg)^2 = \frac{4(2+i)^2+12(1-i)(7-i)}{36(1-i)^2} \\ &\Leftrightarrow\quad \bigg(t-\frac{1+3i}{6}\bigg)^2 = \frac{84-80i}{(-72i)} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ \,= \frac{20+21i}{18} \\ &\Leftrightarrow\quad (6t-1-3i)^2 = 40+42i \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\,\;= (7+3i)^2 \\ &\Leftrightarrow\quad 6t-1-3i = \pm(7+3i) \\ &\Leftrightarrow\quad 6t = \frac{1\pm7}{6} + \frac{1\pm1}{2}i \\ &\Leftrightarrow\quad \cancel{t = \frac{4}{3} + i} \ \ \vee\ \ t=-1 \end{align*}$

her tilader vi ikke den første af løsningerne idet at vi kræver at $t\in\mathbb{R}$ , hvorfor at det følger at $t=-1$ er den eneste reelle løsning til andengradsligningen.

Det ligner en smart måde at løse det på. Det ligner at du har brugt nogle af de resultater som fremkommer når man beviser løsningsformlen. Er dog ikke sikker. Så hvad har du gjort?

- - -

...............

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. januar 2019 af swpply (Slettet)

Jeg bruger at den generale andengradsligningen

$az^2 + bz + c = 0$

for $a,b,c\in\mathbb{C}$ kan skrives på formen

$\bigg(z+\frac{b}{2a}\bigg)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Grunden til at jeg stopper her fremfor at regnevidere er at du ofte i et konkrete tilfælde kan skrive højresiden som kvadratet på en komplekst tal, præcist som gjort i #2.

Svar #5
05. januar 2019 af anonym000

#4
Jeg bruger at den generale andengradsligningen

$az^2 + bz + c = 0$

for $a,b,c\in\mathbb{C}$ kan skrives på formen

$\bigg(z+\frac{b}{2a}\bigg)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.$

Grunden til at jeg stopper her fremfor at regnevidere er at du ofte i et konkrete tilfælde kan skrive højresiden som kvadratet på en komplekst tal, præcist som gjort i #2.

Aha, okay.

- - -

...............

Skriv et svar til: Polynomier m. komplekse koefficienter, 7.C, E2018.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.