Matematik

Bevis at differentialkvotienten af x^n er nx^(-1) for n€Q

04. januar 2019 af MajaXm - Niveau: B-niveau

Har bevist at (X^n)'=nx^(n-1) for alle n€N.

Ved dog ikke hvordan de næste opgaver skal løses?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-01-04 kl. 22.43.57.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #2
04. januar 2019 af AMelev

Brugbart svar (1)

Svar #3
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Tilfældet n ∈ Z
1) Lad n ∈ N, da har du at produktreglen (samt resultatet n ∈ N) giver at

$\begin{align*} \big(x^n \cdot x^{-n}\big)^\prime &= \big(x^n\big)^\prime\cdot x^{-n} + x^n \cdot\big(x^{-n}\big)^\prime \\ &= nx^{n-1}x^{-n} + x^n \cdot\big(x^{-n}\big)^\prime \\ &= \frac{n}{x} + x^n\cdot\big(x^{-n}\big)^\prime \end{align*}$

Brug nu at

$\begin{align*} \big(x^n \cdot x^{-n}\big)^\prime &= 0 \end{align*}$

hvorfor at

$\begin{align*} \big(x^{-n}\big)^\prime &= -nx^{-1}x^{-n} \\ &= -nx^{-n-1} \end{align*}$

–– Bemærk fortegnsfejl i opgaveformuleringen

2) Lad m = -n, da giver ovenstående at

$\begin{align*} \big(x^{m}\big)^\prime &= mx^{m-1} \end{align*}$

for ethvert m ∈ {-1, -2, ...}. Altså har du nu vist at der gælder at

$\begin{align*} \big(x^{n}\big)^\prime &= nx^{n-1} \end{align*}$

for ethvert n ∈ Z. Q.E.D.

–– Prøv om du selv kan løse tilfældet n = 1/m, det forløber næsten identisk med førstedel af ovenstående.

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

Se evt. (link) for et bevis af tilfældet $n\in\mathbb{N}_0$ og (link) for det generalle tilfælde hvor $n\in\mathbb{R}$ .

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. januar 2019 af AMelev

n ∈ Z
$(x^n\cdot x^{-n})'=0\Leftrightarrow (x^n)'\cdot x^{-n}+x^n\cdot (x^{-n})'=0\Leftrightarrow x^n\cdot (x^{-n})'=-(x^n)'\cdot x^{-n}\Leftrightarrow (x^{-n})'=\frac{-(x^n)'\cdot x^{-n}}{x^n}=\frac{-n\cdot x^{n-1}\cdot x^{-n}}{x^n}= -n\cdot x^{n-1-n}\cdot x^{-n}=-n\cdot x^{-1-n}=-n\cdot x^{-n-1}$

Hvis m = -n ∈ Z_, gælder også at (x^m)' = m·x^m-1

Man kunne også have benyttet brøkreglen eller reglen for differentiation af sammensatte funktioner til at vide det.

Brugbart svar (1)

Svar #6
04. januar 2019 af swpply (Slettet)

#5 n ∈ Z
$(x^n\cdot x^{-n})'=0\Leftrightarrow (x^n)'\cdot x^{-n}+x^n\cdot (x^{-n})'=0\Leftrightarrow x^n\cdot (x^{-n})'=-(x^n)'\cdot x^{-n}\Leftrightarrow (x^{-n})'=\frac{-(x^n)'\cdot x^{-n}}{x^n}=\frac{-n\cdot x^{n-1}\cdot x^{-n}}{x^n}= -n\cdot x^{n-1-n}\cdot x^{-n}=-n\cdot x^{-1-n}=-n\cdot x^{-n-1}$

Du skal antage at $n\in\mathbb{N}$ og ikke som du gør antage at $n\in\mathbb{Z}$ . For vi bruger netop at vi i forrige opgave har vist at $(x^n)^\prime = nx^{n-1}$ for et vilkårligt $n\in\mathbb{N}$ , det er jo netop dette resultat for $n\in\mathbb{Z}$ vi ønsker at vise.

Skriv et svar til: Bevis at differentialkvotienten af x^n er nx^(-1) for n€Q

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.