Matematik

Integration af udtryk? Hjælp

08. januar 2019 af sansas - Niveau: Universitet/Videregående

Hvordan integreres det her udtryk i første spørgsmål, og hvordan løser jeg det andet spørgsmål. Jeg har vedhæftet spørgsmålet her:

https://imgur.com/a/NkgryRj

Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. januar 2019 af AMelev

Løs differentialligningen under den givne betingelse.
Jeg får [ASA] = [ASA]₀·e^-k_obs·t

Svar #2
08. januar 2019 af sansas

Er det dit svar på a eller b, som jeg har vedhæftet? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. januar 2019 af AMelev

Så vidt jeg kan se, har du kun vedhæftet a) - det jeg har sat ind.

Svar #4
08. januar 2019 af sansas

hmm underligt. Men jeg har brug for hjælp til at integrere udtrykket -d[ASA]/dt=kobs[ASA]

og her er sp. b

https://imgur.com/a/0Sq16DY

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. januar 2019 af AMelev

Har du ikke et CAS-værktøj, du kan benytte? Hvis ikke, skal du benytte separation af variable.
$\int \frac{1}{[ASA]}d[ASA]=\int k_{obs}dt$

Når 5% er nedbrudt, er der 95% tulbage.
Løs ligningen [ASA]₀·e^-k_obs·t = 95% [ASA]₀·e^-k_obs·t mht. t.

Svar #6
08. januar 2019 af sansas

Må jeg egentlig spørge, hvorfor det ender med 1/[ASA]? Hvad hedder den regel?

Svar #7
09. januar 2019 af sansas

Og mht. ligningen som skal løses, hvad svarer [ASA]0 til ?

Brugbart svar (1)

Svar #8
09. januar 2019 af mathon

#6
...der er - som oolyst i #5 - foretaget separation af de variable

$\small -\frac{\mathrm{d} \left [ ASA \right ]}{\mathrm{d} t}=k_{obs} \cdot \left [ ASA \right ]\qquad\qquad\qquad\textup{som multipliceres med }-\frac{\mathrm{d}t}{\left [ ASA \right ]}$
$\small \textup{giver:}$
$\small \frac{1}{\left [ AS\! A \right ]}\mathrm{d} \left [ AS\! A \right ]=-k_{obs} \cdot \mathrm{d} t\quad\textup{s\aa \ udtryk i }\left [ AS\! A \right ]\textup{ er tv og udtryk i }t\textup{ er th dvs separeret}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
09. januar 2019 af mathon

#7
$\small \left [ AS\! A \right ]_0=\textup{ koncentrationen af ASA til tiden 0.}$

Brugbart svar (1)

Svar #10
09. januar 2019 af mathon

$\small \small \int \frac{1}{[ASA]}\, \mathrm{d}[ASA]=\int_{0}^{t} -k_{obs}\, \mathrm{d}t$

$\small \ln\! \left ([ASA]_t \right )=-k_{obs}\, t+\underset{\textup{integrationskonstant}}{\underbrace{\ln\left ([AS\! A]_0 \right )}}$

$\small e^{\ln\! \left ([ASA]_t \right )}=e^{-k_{obs}\, t+\ln\left ([AS A]_0 \right )}$

$\small [AS\! A]_t =e^{-k_{obs}\, t}\cdot e^{\ln\left ([AS A]_0 \right )}$

$\small [AS\! A]_t =e^{-k_{obs}\, t}\cdot [AS A]_0 \right )$

$\small [AS\! A]_t = [AS A]_0\cdot \right )e^{-k_{obs}\cdot t}$

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. januar 2019 af mathon

$\small \small [AS\! A]_t =0.95 [AS \! A]_0= [AS \! A]_0\cdot \right )e^{-k_{obs}\cdot t}$

$\small \small 0.95= \right )e^{-k_{obs}\cdot t}$

$\small \ln(0.95)= -k_{obs}\cdot t$

$\small t=\frac{\ln(0.95)}{-k_{obs}}$

$\small t=\frac{\ln(0.95)}{-6.72\cdot 10^{-4}\; \textup{min}^{-1}}=7.6\; \textup{min}$

Der går 7.6 min før 5% af ASA'en er nedbrudt ved pH = 6.60 og t = 39°C.

Svar #12
09. januar 2019 af sansas

Det her er deres svar. Jeg kan se, at man når til det samme resultat, men hvilken metode er nemmest at gå til?

https://imgur.com/a/60kJGPn

Svar #13
10. januar 2019 af sansas

#8
#6
...der er - som oolyst i #5 - foretaget separation af de variable

$\small -\frac{\mathrm{d} \left [ ASA \right ]}{\mathrm{d} t}=k_{obs} \cdot \left [ ASA \right ]\qquad\qquad\qquad\textup{som multipliceres med }-\frac{\mathrm{d}t}{\left [ ASA \right ]}$
$\small \textup{giver:}$
$\small \frac{1}{\left [ AS\! A \right ]}\mathrm{d} \left [ AS\! A \right ]=-k_{obs} \cdot \mathrm{d} t\quad\textup{s\aa \ udtryk i }\left [ AS\! A \right ]\textup{ er tv og udtryk i }t\textup{ er th dvs separeret}$

Hvorfor får man de 1/[ASA], altså hvor kommer et tallet fra? Og dernæst skriver du ln[ASA]t og ln[ASA]0 på den anden side. Jeg er ikke helt med hvordan? Håber, at du ser det her. Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. januar 2019 af AMelev

Hvis du i stedet for kalder [ ASA] for y og kobs for k, så står der $-\frac{dy}{dt}=k\cdot y\Leftrightarrow \frac{dy}{dt}=-k\cdot y$
Så benytter du separation af variable, dvs. skaffer y på den ene side (ved at dividere med y) og t på den anden ved at "gange med dt" og integrerer:
$\frac{dy}{dt}=-k\cdot y\Leftrightarrow \int \frac{1}{y}dy=\int -kdt\Leftrightarrow ln(|y|)=-k\cdot t + c\Leftrightarrow {\color{Red} *)} y=e^{-k\cdot t+c}=e^{-k\cdot t}\cdot e^c={\color{Red} **)}C\cdot e^{-k\cdot t}$
*) Da y = er en koncentration er y positiv, så |y| = y
**) c er en konstant, og så er C = e^c også en konstant
Denne konstant kan bestemmes ud fra værdien i 0, som var y₀ = [ASA]₀: y₀ = C·e^-k·0 = C·e⁰ = C
Altså y = y₀ ·e^-k·t ⇔ [ASA] = [ASA]₀·e^-k_obs·t

Svar #15
10. januar 2019 af sansas

Mange tak AMelev! Det giver meget mening, men stadig er jeg ikke helt med på, hvor et tallet i (1/y) kommer fra? Og er antiderivative (kan ikke huske det danske ord) for 1/y =ln(y) ?

Brugbart svar (0)

Svar #16
10. januar 2019 af AMelev

#5 At dividere med y er det samme som at gange med 1/y og ja, en stamfunktion til 1/y er ln(|y|) - både det og separation af variable det kan du google dig til.

Skriv et svar til: Integration af udtryk? Hjælp

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.