Matematik

Talteori evaluér udtryk ud fra given identitet

02. februar kl. 18:09 af Slashdash - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP mangler hjælp til et talteoretisk spørgsmål. Antag at vi for alle x har følgende identitet:

(1+x+x^2+...+x^{16})^{125}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2000}x^{2000}

Evaluér

a_0+a_{17}+a_{34}+...+a_{1989}

Ved ikke, hvordan jeg skal gribe dette spørgsmål an. Enhver hjælp er værdsat! (Der skulle muligvis være tale om at komplekse tal indgår i svaret)


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. februar kl. 18:13 af mathon


Svar #2
02. februar kl. 19:18 af Slashdash

#1

Var det meningen, at der skulle være et svar her?


Brugbart svar (0)

Svar #3
02. februar kl. 21:53 af Festino

Skriv

(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{1984}x^{1984}.

Benyt identiteten

(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{125}=(1+x+x^2+\cdots+x^{16})(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}

til at vise, at

a_0=b_0

a_{17}=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots+b_{16}+b_{17}

a_{34}=b_{18}+b_{19}+\cdots+b_{33}+b_{34}

osv. op til

a_{1989}=b_{1973}+b_{1974}+\cdots+b_{1983}+b_{1984}

Vis at

\sum_{i=0}^{1984}b_i=17^{124}

Konkludér at

a_0+a_{17}+a_{34}+\cdots a_{1989}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}=17^{124}.


Svar #4
02. februar kl. 22:55 af Slashdash

#3

Skriv

(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{1984}x^{1984}.

Benyt identiteten

(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{125}=(1+x+x^2+\cdots+x^{16})(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}

til at vise, at

a_0=b_0

a_{17}=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots+b_{16}+b_{17}

a_{34}=b_{18}+b_{19}+\cdots+b_{33}+b_{34}

osv. op til

a_{1989}=b_{1973}+b_{1974}+\cdots+b_{1983}+b_{1984}

Vis at

\sum_{i=0}^{1984}b_i=17^{124}

Konkludér at

a_0+a_{17}+a_{34}+\cdots a_{1989}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}=17^{124}.

Mange tak for svaret! Kan følge din løsning indtil summeringen. Jeg føler jeg overser noget, men kan ikke se, hvordan det kan vises at \sum_{i=0}^{1984} b_i=17^{124} 


Brugbart svar (0)

Svar #5
02. februar kl. 23:03 af Festino

Ved at sætte x=1 i definitionen af b'erne får vi

(1+1+1^2+\cdots+1^{16})^{124}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}

Venstre side er lig med 17^{124}.


Skriv et svar til: Talteori evaluér udtryk ud fra given identitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.