Matematik

Talteori evaluér udtryk ud fra given identitet

02. februar 2019 af Slashdash (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP mangler hjælp til et talteoretisk spørgsmål. Antag at vi for alle x har følgende identitet:

$(1+x+x^2+...+x^{16})^{125}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{2000}x^{2000}$

Evaluér

$a_0+a_{17}+a_{34}+...+a_{1989}$

Ved ikke, hvordan jeg skal gribe dette spørgsmål an. Enhver hjælp er værdsat! (Der skulle muligvis være tale om at komplekse tal indgår i svaret)

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. februar 2019 af mathon

Svar #2
02. februar 2019 af Slashdash (Slettet)

#1

Var det meningen, at der skulle være et svar her?

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. februar 2019 af Festino

Skriv

$(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{1984}x^{1984}$ .

Benyt identiteten

$(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{125}=(1+x+x^2+\cdots+x^{16})(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}$

til at vise, at

$a_0=b_0$

$a_{17}=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots+b_{16}+b_{17}$

$a_{34}=b_{18}+b_{19}+\cdots+b_{33}+b_{34}$

osv. op til

$a_{1989}=b_{1973}+b_{1974}+\cdots+b_{1983}+b_{1984}$

Vis at

$\sum_{i=0}^{1984}b_i=17^{124}$

Konkludér at

$a_0+a_{17}+a_{34}+\cdots a_{1989}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}=17^{124}.$

Svar #4
02. februar 2019 af Slashdash (Slettet)

#3
Skriv

$(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_{1984}x^{1984}$ .

Benyt identiteten

$(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{125}=(1+x+x^2+\cdots+x^{16})(1+x+x^2+\cdots+x^{16})^{124}$

til at vise, at

$a_0=b_0$

$a_{17}=b_1+b_2+b_3+b_4+\cdots+b_{16}+b_{17}$

$a_{34}=b_{18}+b_{19}+\cdots+b_{33}+b_{34}$

osv. op til

$a_{1989}=b_{1973}+b_{1974}+\cdots+b_{1983}+b_{1984}$

Vis at

$\sum_{i=0}^{1984}b_i=17^{124}$

Konkludér at

$a_0+a_{17}+a_{34}+\cdots a_{1989}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}=17^{124}.$

Mange tak for svaret! Kan følge din løsning indtil summeringen. Jeg føler jeg overser noget, men kan ikke se, hvordan det kan vises at $\sum_{i=0}^{1984} b_i=17^{124}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. februar 2019 af Festino

Ved at sætte $x=1$ i definitionen af $b$ 'erne får vi

$(1+1+1^2+\cdots+1^{16})^{124}=b_0+b_1+b_2+b_3+\cdots+b_{1984}$

Venstre side er lig med $17^{124}$ .

Skriv et svar til: Talteori evaluér udtryk ud fra given identitet

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.