Tvivl om opgave i analyse

Her er opgaven

Jeg har fundet følgende formel og tænkt at da f(0,0)=0 vil vi kunne reducere det til f(cos(θ)*t,sin(θ)*t)/t --> c for t-->0. Da vil f(cos(θ)*t,sin(θ)*t)/t --> 0 for t-->0  eller hvad? Er ikke sikker på jeg har forstået det rigtigt?

Hvis cos(θ) = 0 eller sin(θ) = 0, så er f(cos(θ)·t, sin(θ)·t) = 0 for alle t ∈ R pga. uligheden.

Hvis cos(θ) ≠ 0 og sin(θ) ≠ 0, så divider uligheden igennem med højresiden:
   0 < sin(θ)·t / (cos(θ)·t)² < 1
   0 < tan(θ)·sec(θ) / t < 1         =>  |tan(θ)·sec(θ) / t| < 1        ..... (lad  K = tan(θ)·sec(θ))

Dvs. hvis funktionsværdien er 1, så gælder |K / t| < 1.
Men når t ∈ (-|K|, |K|), så er |K / t| > 1, og funktionsværdien kan derfor ikke være 1.

Derfor gælder  f(cos(θ)·t, sin(θ)·t) = 0  for alle  t ∈ (-|K|, |K|)  eller  t ∈ R, så f er konstant og dermed kontinuert i t=0. Dvs. den grænse du har skrevet i #2 kan bestemmes som funktionsværdien f(0, 0) = 0.

Hov jeg glemte at vedhæfte definitionen jeg har fundet (har vedhæftet nu nedenfor). Forstår ikke argumentet i tredje linje. Men jeg har prøvet at dele det op i to scenarier, et hvor værdien af θ gør at f(cos(θ),sin(θ))=0 og et hvor værdien af θ gør at f(cos(θ),sin(θ))=1 og så argumentere for at det gælder at f(cos(θ)*t,sin(θ)*t)/t --> 0 for t-->0

i begge tilfælde. Er det tilstrækkeligt argument?

f