Matematik

Logistisk differentialligning - x gående mod plus minus uendelig

03. juni 2019 af Maj456 - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg skal løse denne opgave. Jeg forstår den første del af opgaven, men jeg forstår ikke det der med, funktionens opførsel, når x går mod +- uendelig. 

Bevis sætninger om egenskaberne for logistisk vækst, herunder maksimal væksthastighed og funktionens opførsel når ?? går mod uendelig og minus uendelig.

Pft.


Brugbart svar (0)

Svar #1
03. juni 2019 af peter lind

Se formel 179 i din formelsamling

Den maksimale væksthastighed får du ved at finde f''(t) og sætte den lig med 0

Jeg går ud fra at c>0. Når c-> ∞ går funktionen mod M. Når x→-∞ går nævneren mod ∞ og funktionen derfor mod 0


Brugbart svar (0)

Svar #2
03. juni 2019 af mathon

             \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot \left ( M-y \right )\qquad 0<y<M

             \small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-ay^2+aMy

maksimal væksthastighed kræver bl.a.:

             \small \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d} x^2}=-2ay+aM=0        

             \small -2y+M=0

             \small 2y=M

             \small y=\tfrac{1}{2}M

...
    grænseværdierne er omtalt i #1


Svar #3
03. juni 2019 af Maj456

Tak! I spørgsmålet skal der skal naturligvis stå, "når x går mod..."


Brugbart svar (0)

Svar #4
03. juni 2019 af AMelev

Du kan også bestemme den y-værdi, der giver maksimal væksthastighed ved at betragte y' = a·y·(M - y) som et 2.gradpolynomium med y som uafhængig variabel. Rødderne er y = 0 og y = M.
Parablen har grenene nedad, så maksimum får i toppunktet, som ligger midt mellem de to rødder, altså i
y = ½M.

Når du kender y, sætter du den ind i dfferentialligningen for at bestemme den maksimale væksthastighed.


Brugbart svar (0)

Svar #5
03. juni 2019 af mathon

korrektion:

maksimal væksthastighed kræver bl.a.:

                               \begin{array}{lllll} &\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x}=0\\\\ &a\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}(M-y)+ay\left ( 0-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=0\\\\ &a\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left ( M-y-y \right )=0\\\\ &a\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\left ( M-2y \right )=0&\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}>0\\\\ \textup{hvoraf:}\\ &M-2y=0\\\\ &y=\frac{M}{2} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
04. juni 2019 af mathon

eller
              \small \begin{array}{llll} &\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)\\\\ &\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-ay^2+aMy&\textup{som er en andengradsligning i y}\\\\ \textup{med maksimum}\\ \textup{i toppunktet:}&y=\frac{-b}{2a}=\frac{-a\cdot M}{2\cdot (-a)}=\frac{M}{2} \end{array}


Skriv et svar til: Logistisk differentialligning - x gående mod plus minus uendelig

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.