Analyse- tvivl om opgave

Du er på det rette spor, men der få ting du skal huske på. Når du skal bevise udtrykket "hvis ... så ...", skal du ikke bevise om "hvis" faktisk gælder, men hellere antage, at "hvis" gælder. (For eksempel, hvis n er lige, så er n² lige. Her skal man ikke vise, om n er lige, men antage at det er det.)

Sæt g(x) = ₀∫^x f(y) dy. Antag at der findes et reelt tal C sådan at g(x) ≤ C for alle x ≥ 0. (Dette er en antagelse, som du ikke skal bevise, som det står i opgaven.) Eftersom g er (svagt) voksende funktion, er det I orden at efterligne (a). Sæt L = sup{ g(x) | x ≥ 0 }, så vil g(x) gå mod L for for x → ∞. Derfor er f uegentlig Riemann-integrabel over [0, ∞) pr. definition.

Anvendelse: Betragt f(y) = e^-y for y ≥ 0. Her er f en ikke-negativ, kontinuert funktion. Desuden er ₀∫^x f(y) dy = 1 - e^-x ≤ 1 for alle x ≥ 0. Ifølge (b), må ₀∫^∞ e^-y dy være uegentlig Riemann integrabel over [0, ∞).

Jeg er ikke helt sikker på at jeg forstår. Jeg sætter g(x) = ∫_0^x f(y)dy og antager ligesom i a at der findes et reelt tal C sådan at g(x) ≤ C for alle x ≥ 0, hvilket korrekt kan antages da integranden er ikke-negativ og derfor er integralet svagt voksende med hensyn til x. Da beviste vi i a at g(x) gå mod L for for x → ∞ og derfor er f uegentlig Riemann-integrabel over [0, ∞) pr. definition da det gælder at ∫_0^x f(y)dy→c for x→∞_. Er det bare det? Jeg forstår ikke det sidste du skriver med anvendelse?