Matematik

Bestem de værdier af x og h der gør æskens ydre overfladeareal mindst muligt

21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har h=10, x(bredde)=12, 2x(længde)=24 og Rumfang=2880

Jeg tænker at jeg finder h først ved at opskrive det på følgende måde:

$\frac{2880}{2}= \frac{x*2x*h}{2}$ Jeg isolere h og får følgende $h=\frac{1440}{x^{2}}$ og så er det at jeg indsætter det i berigning af areal som bliver:
A=2*x*( $\frac{1440}{x^{2}}$ )+2*( $\frac{1440}{x^{2}}$ )*2*x+x*2*x og får $2*x^{2}+\frac{8640}{x}$

Men hvordan finder jeg x og h værdien? Jeg har prøvet at sætte det lig med nul, men får nogle mærkelige udtryk

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. september 2019 af AMelev

Du bruger standardmetoden til bestemmelse af lokale ekstrema:

Nulpunkter og fortegn for f ' og derudfra monotoni og lokale kestrema for f.

Svar #2
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Men hvornår er det at jeg bruger dem. Det er det jeg har svært ved at komme frem til. Er det efter jeg differentiere, før eller er det efter jeg isolere h osv.

Svar #3
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Er der nogen som muligvis kan hjælpe mig, og fortælle mig om det jeg gjorde er rigtigt?
På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. september 2019 af Bibo53

Hvis $A(x)=2x^2+\frac{8640}{x}$ , så er $A'(x)=4x-\frac{8640}{x^2}$ . Af $A'(x)=0$ følger, at

$4x-\frac{8640}{x^2}=0$

og dermed $x^3=2160=216\cdot10$ . Altså er $x=6\sqrt[3]{10}$ . Du mangler nu at lave fortegnsvariation for den afledede funktion $A'$ .

Svar #5
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Det er præcis det samme som jeg har fået. Men ifølge facit listen så er det forkert.
Der står at X = 14,4 cm og h = 9,6 cm. Det forstår jeg bare ikke hvordan det bliver?

Svar #6
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Eller kan det være at min facit er forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. september 2019 af Bibo53

Er du sikker på, at du har skrevet opgaven rigtigt af? Der står vel ikke noget om, at $x+h=24$ , for det ville passe med den vejledende løsning? Måske skulle du lægge et billede af opgaven op.

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. september 2019 af ringstedLC

#5: I #0 "har du" det som du vil beregne. Det giver ingen mening. I forlængelse af https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1910716 , hvor R = 4000 cm³ fås:

$\begin{align*} A &= 2\cdot (x\cdot 2x)+2\cdot \left ( x\cdot h \right )+2\cdot \left ( 2x\cdot h \right ) \\ A &= 2\cdot (x\cdot 2x)+2\cdot \left(x\cdot \frac{2000}{x^2}\right)+2\cdot \left(2x\cdot \frac{2000}{x^2}\right)\;,\;h &= \frac{2000}{x^2} \\ A &= 4x^2+\frac{4000}{x}+\frac{8000}{x} \\ A &= 4x^2+\frac{12000}{x} \\ \end{align*}$

Du skriver heller ikke, hvad du skal beregne, så forslaget i #7 er rigtig godt.

Svar #9
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

#8 Jeg skal bestemme de værdier af x og h der gør kassens ydre overfladeareal mindst muligt.
Det du skriver er også det som jeg er kommet frem til, jeg ved bare ikke hvordan man fortsætter for at finde den mindst mulig areal, og bestemme x og h

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. september 2019 af Bibo53

Hvis der er tale om en åben kasse, altså uden top, så er overfladearealet ikke

$A=4x^2+\frac{12000}{x}$

men

$A=2x^2+\frac{12000}{x}$ .

I så fald får jeg, at $x$ opfylder ligningen

$4x-\frac{12000}{x^2}=0$ ,

der har løsningen $x=10\sqrt[3]{3}\approx 14.4$ . Desuden er $h=\frac{20\sqrt[3]{3}}{3}\approx 9.6$ .

Svar #11
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Hvorfor er det $A=2x^2+\frac{12000}{x}$ og ikke $A=4x^2+\frac{12000}{x}$ ?? Bare så jeg er med og forstår det

Brugbart svar (0)

Svar #12
21. september 2019 af Bibo53

Fordi vi har fjernet toppen, der har arealet $x\cdot2x=2x^2$ .

Svar #13
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Ahh okay, så er jeg med. Tusind tak for det!
Så når jeg beregner h, så skal jeg sådan set bare gøre det samme ved at differentiere den først og derefter sæt den = 0, ikke?

Svar #14
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Hov nej vent! Jeg finder h, ved at indsætte min x-værdi i x plads i h. Sorry det er bare dumme mig haha

Tak for hjælpen!!

Brugbart svar (0)

Svar #15
21. september 2019 af Bibo53

Nej, du skal benytte, at $x\cdot2x\cdot h=4000$ .

Svar #16
21. september 2019 af Sofiehanw (Slettet)

Nåååh, det var skam underligt at det gav det præcise samme resultat. Men jeg sætter virkelig pris på at du rettede mig, tak for det!!

Brugbart svar (0)

Svar #17
21. september 2019 af AMelev

#16 Nej, det er ikke så underligt, for dit h-udtryk kommer jo netop fra ligningen i #15, så begge meoder virker, men din er den nemmmeste.

Skriv et svar til: Bestem de værdier af x og h der gør æskens ydre overfladeareal mindst muligt

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.