Matematik

Kendt areal i integralregning

02. oktober 2019 af Lei20 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Bestem t således at integralet af 2x med grænserne t og 2 er lig 20. Jeg har fået t = -4,899 eller t = 4,899. Jeg ved godt, at t skal være lig 4,899, men hvad er forklaringen på, at det ikke kan være -4,899? Er det fordi b altid er større end a?

Brugbart svar (0)

Svar #1
02. oktober 2019 af mathon

Der må menes "Bestem t således at integralet af 2x fra 2 til t er lig med 20":

$\small \int_{2}^{t}2x\, \mathrm{d}x=20$

$\small \left [ x^2 \right ]_{2}^{t}=20$

$\small t^2-4=20$

$\small t^2=24$

$\small t=\mp \sqrt{24}$

$\small t=\left\{ \begin{array}{lrr} -2\sqrt{6}&=&-4.90\\ \, \, \, \, 2\sqrt{6}&=&4.90 \end{array}\right.$

Svar #2
02. oktober 2019 af Lei20 (Slettet)

Er det forkert at svare, at t skal være lig -4,90 eller 4,90 for at integralet er lig 20? Kan det ikke kun være t = 4,90

Brugbart svar (0)

Svar #3
02. oktober 2019 af AMelev

#2 Begge t-værdier er løsninger, så det er rigtigt at svare $\int_{2}^{t}2x\, dx=20\Leftrightarrow t=2\sqrt{6}\: \, \textup{eller}\, \: t=-2\sqrt{6}$

Den øvre grænse b behøver ikke være større end den nedre grænse a.

$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx$

Svar #4
02. oktober 2019 af Lei20 (Slettet)

Når jeg skal give en geometrisk fortolkning af integralet er det så korrekt at skrive det på denne måde?

Integralet af f(x) med grænserne 2 og 4,90 er arealet mellem f-grafen, koordinatakserne og de to lodrette linjer x = 2 og x = 4,90

Brugbart svar (0)

Svar #5
03. oktober 2019 af AMelev

#4 Ja, da f(x) = 2x er positiv i det interval.

For t = -4.90 er det lidt mere kompliceret, da f er negativ for x < 0.
Arealet mellem graf og 1.akse fra -4.9 til 0 er dermed $A_1=-\int_{-4.9}^{0} f(x)dx=\int_{0}^{-4.9} f(x)dx$
Ifl. indskudsreglen er $\int_{2}^{-4.9} f(x)dx=\int_{2}^{0} f(x)dx+\int_{0}^{-4.9} f(x)dx= -\int_{0}^{2} f(x)dx+\int_{0}^{-4.9} f(x)dx$
Pga. symmetri er arealet A₂ mellem graf og førsteakse mellem x = 0 og x = 2 det samme som melllem x = -2 og x =0
$A_2=\int_{0}^{2} f(x)dx=-\int_{-2}^{0} f(x)dx$ (jf. #3), dvs. at
$\int_{2}^{-4.9} f(x)dx= -\int_{0}^{2} f(x)dx+\int_{0}^{-4.9} f(x)dx=A_1-A_2=$
$\int_{0}^{-4.9} f(x)dx+\int_{-2}^{0} f(x)dx=\int_{-2}^{-4.9} f(x)dx=-\int_{-4.9}^{-2} f(x)dx$ , altså arealet mellem graf og 1.akse og linjerne x = -4.9 og x = -2

Vedhæftet fil:Billede3.JPG

Skriv et svar til: Kendt areal i integralregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.