Matematik

Logistisk vækst

24. november 2019 af gamerenn - Niveau: A-niveau

Jeg skal lave en funktionsundersøgelse for y'=ay(M-y), altså for den logistisk ligning. Jeg har umiddelbart besvaret det hele, men er dog i tvivl, da jeg ikke kan finde noget på internettet til at se om det er korrekt.

Ekstremumssted vha. differentialligning:

Her har jeg sat y'=0, faktoriseret ligningen til y(aM-ay)=0 og fundet ekstremumsstedet M/2.

Bestem globalt maksimum:

Er det så bare M/2 igen?

Bestem nulpunkter, monotoni, D_m og V_m:

Nulpunkterne fandt jeg i opgave 1, hhv. y=0 og y=M

Monotoni: voksende i [0;M/2], aftagende i [M/2;M]

D_m: ]-uendelig;uendelig[

V_m: ]0;M[

Hvilken y-værdi opnår y' sin maksimum:

i M/2.

Er der nogen der kan hjælpe mig og evt. forklare hvad jeg har gjort galt?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. november 2019 af mathon

I de tilfælde hvor den logistiske ligning
har interesse
er a,y,M > 0 y < M

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. november 2019 af mathon

Monotoni: voksende i [0;M/2], aftagende i [M/2;M] er forkert.

$\small f(x)=\frac{M}{1+Ce^{-aM\cdot x}}$ er voksende i ]0;∞]

med
skrå vendetangent i $\small \left ( \frac{\ln(C)}{a\cdot M}\, ;\frac{M}{2} \right )$ men $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}>0\textup{ dvs f er voksende}$

Det er $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ der opnår maksimum for $\small y=\tfrac{M}{2}$

Skriv et svar til: Logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.