Matematik
Abelsk gruppe og Sylows sætninger
En opgave fra faget 'Algebra 1' på KU
Lad p,q og r være tre indbyrdes forskellige primtal og betragt den abelske gruppe:
A = Zp3q x Zp2 x Zq2r af orden p5q3r , hvor Zn betegner den cykliske gruppe af orden n.
1) For hvilke primtal, l, er l-Sylowgruppen i A cyklisk?
Ikke så ligetil synes jeg..
r-Sylowgruppen (evt flere ved konjugering) har orden r, hvor r er et primtal. Elementerne i gruppen har altså orden r (undtagen identitetselementet), hvorfor denne gruppe kan genereres af et enkelt element og dermed er cyklisk. Holder det argument?
q-Sylowgruppen (evt flere ved konjugering) har orden q3 og p-Sylowgruppen (evt flere ved konjugering) har orden p5. Hvis fx p eller q er lig med 2 så er grupperne af hhv orden 8 eller 32, hvilke ikke nødvendigvis er cykliske idet Diedergrupperne D8 af orden 8 og D32 af orden 32 fx ikke er cykliske.
Jeg vil derfor sige at kun r-Sylowgruppen er cyklisk.
Måske er jeg helt på afveje :P Hjælp tages imod med kyshånd
Mvh Filip
Svar #1
06. januar 2020 af chyvak
Da Sylow-undergrupperne er de maksimale l-grupper og da p, q og r er indbyrdes primiske har p-, q- og r-Sylowgrupperne orden henholdsvis p^5, q^3 og r. Spørgsmålet er derfor om der findes cyckliske undergrupper af disse ordener i det ydre produkt A.
Prøv at undersøge undergrupperne frembragt af følgende mængder (=enkeltelementer):
<(q, 1, 0)>
<(p^3, 0, r)>
<(0,0,q^2)>
Hvad er deres orden? Er de cykliske?
Svar #2
06. januar 2020 af Dimsum79
<(0,0,q2)> = { (0,0,q2) , (0,0,2q2) , ... , (0,0,rq2) = (0,0,0) }
Så elementet (0,0,q2) har orden r og kan dermed generere en gruppe af orden r, hvilken selvsagt er cyklisk.
Det er ihvertfald min forståelse.
Dine øvrige elementer (q, 1, 0) og (p3, 0, r) kan jeg dog umiddelbart ikke få til at generere grupper af orden p5 eller q3 hvis det var ønsket? Måske griber jeg det forkert an.
Din skrivelse hjalp ihvertfald på forståelsen mange mange tak
Skriv et svar til: Abelsk gruppe og Sylows sætninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.