Matematik

Hjælp til matematik vektorregning

12. januar 2020 af Morten20 - Niveau: A-niveau

Hej derude

Jeg har fået opgaven

Find en ligning for den cirkel, der har linjestykket AB som diameter, hvis A(-3,1) og B(7,5). Vis, at punkterne P(7,1) og Q(4,-2) ligger på denne cirkel.

Vis, at linjerne m og n er parallele, når deres ligninger er

m: 4x + 6y = -3 og n: -10x - 15y = -3

Kan simpelthen ikke finde ud af disse to opgaver, er der en rar sjæl der vil give en hjælpende hånd?

Brugbart svar (0)

Svar #1
12. januar 2020 af peter lind

Afstanden mellem A og B er diameteren og midtpunktet er cirklens centrum.

Brug formlerne 69, 70 og 73 , side 14 i din formelsamling

Svar #2
12. januar 2020 af Morten20

Jamen jeg fatter stadigt ikke, en der kan regne det ud for mig? :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
12. januar 2020 af ringstedLC

En opgave pr. tråd, tak!

$\begin{align*} (x-a)^2&+(y-b)^2 = r^2 \\ r=0.5\cdot |\overrightarrow{AB}| &= 0.5\cdot \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\ (a,b) &= A+0.5\cdot \overrightarrow{AB} \end{align*}$

Indsæt P og Q i cirklens ligning.

2. To linjer er parallelle når determinanten af deres normal- eller retningsvektorer er nul:

$\begin{align*} m:4x+6y=-3\Rightarrow \overrightarrow{n_m}&=\binom{a_m}{b_m} \\ n:-10x-15y=-3\Rightarrow \overrightarrow{n_n}&=\binom{a_n}{b_n} \\ det\left (\overrightarrow{n_m}, \overrightarrow{n_n} \right ) &= a_mb_n-b_ma_n=0 \\ \end{align*}$

eller ved at vise at deres hældninger er ens:

$\begin{align*} m:4x+6y &= -3 \\ y &= a_mx+b_m\Rightarrow a_m= \;? \\ n:-10x-15y &=-3 \\ y &= a_nx+b_n\Rightarrow a_n= \;? \end{align*}$

Svar #4
12. januar 2020 af Morten20

Kan stadig ikke finde ud af det...

Brugbart svar (0)

Svar #5
12. januar 2020 af liawo

Morten opgaven kan løses på mange måder. Hvis du synes vektorer er svært, så kan du også løse den plangeometrisk. Eller blot med geogebra.

Svar #6
12. januar 2020 af Morten20

Men det skal løses med vektorregning og forstår det bare ikke...

Brugbart svar (0)

Svar #7
13. januar 2020 af mathon

For en ret linje med de faste punkter A og B og det variable punkt P
og
$\small \overrightarrow{AP}=f\cdot \overrightarrow{BP}\qquad P\neq B$
gælder:
$\small \overrightarrow{OP}=\frac{1}{1-f}\cdot \overrightarrow{OA}-\frac{f}{1-f}\cdot \overrightarrow{OB}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
13. januar 2020 af mathon

specifikt for midtpunktet M mellem A og B, hvor f = -1

$\small \begin{array}{llll} &\overrightarrow{OM}=\frac{1}{1-(-1)}\cdot \overrightarrow{OA}-\frac{(-1)}{1-(-1)}\cdot \overrightarrow{OB}\\\\&\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} -3\\1 \end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 7\\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix} \\\\\textup{hvoraf centrum}&M=(2,3)\quad\textup{da et punkt og dets stedvektor har ens koordinater.} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
13. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll} \textup{cirkelradius}&r=\left | \overrightarrow{AM} \right |=\sqrt{(2-(-3))^2+(3-1)^2}=\sqrt{29}\\\\\textup{cirkelligning}&c\textup{:}\quad (x-2)^2+(y-3)^2=29\\\\ \textup{venstre side}\\\textup{med P's koordinater:}&(7-2)^2+(1-3)^2=29\\\\\textup{venstre side}\\\textup{med Q's koordinater:}&(4-2)^2+((-2)-3)^2=29\\\\\textup{alts\aa \ ligger P og Q p\aa }&\textup{cirklen }c. \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llll}& m\textup{:}\quad 4x + 6y = -3\quad \textup{ og }\quad n\textup{:} -10x - 15y = -3 \\\\\textup{hvis determinanten for}&\textup{linjernes normalvektorer er lig med 0}\\\textup{er linjerne parallelle:}\\\\&\begin{vmatrix} 4 &-10 \\ 6 &-15 \end{vmatrix}=4\cdot (-15)-6\cdot (-10)=0\\\\\textup{alts\aa \ er }m\textup{ og }n&\textup{parallelle.} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. januar 2020 af mathon

detaljer i #7

Brugbart svar (0)

Svar #12
13. januar 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll} &\overrightarrow{AP}=f\cdot \overrightarrow{BP}\\\\&\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=f\cdot \left ( \overrightarrow{OP} -\overrightarrow{OB}\right )\\\\&\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=f\cdot \overrightarrow{OP}-f\cdot \overrightarrow{OB}\\\\& \overrightarrow{OP}-f\cdot \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-f\cdot \overrightarrow{OB}\\\\&\left ( 1-f \right )\cdot \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-f\cdot \overrightarrow{OB}\\\\&\overrightarrow{OP}=\frac{1}{1-f}\cdot \overrightarrow{OA}-\frac{f}{1-f}\cdot \overrightarrow{OB} \end{array}$

Skriv et svar til: Hjælp til matematik vektorregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.