Matematik

Vektorfunktioner - Areal af cirkel

23. februar 2020 af LasLas123 - Niveau: A-niveau

Er fuldstændig lost ved denne opgave.

Der er ingen værdier givet, og koordinatfunktionerne består hver især af værdier man ikke kender.

Opgaven er vedhæftet - Nogle som kan hjælpe?

Vedhæftet fil: arealafvektor.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. februar 2020 af janhaa

$s'(t)=[-r*\sin(t),r*\cos(t)]\\ \\ S=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(r^2\sin^2(t)+r^2\cos^2(t))\,dt\\ \\S=\frac{1}{2}*2\pi*r^2=\pi r^2$

Svar #2
23. februar 2020 af LasLas123

Hvad gør du med s(t)hat som skal ganges på s'(t)??

Svar #3
23. februar 2020 af LasLas123

Hvordan går du fra første sætning til anden sætning?

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. februar 2020 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. februar 2020 af mathon

$\begin{array}{lllll}&\overrightarrow{s}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\qquad \qquad \widehat{\overrightarrow{s}}(t)=\begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\\\&\overrightarrow{s}{\, }'(t)\cdot\widehat{ \overrightarrow{s}}(t)=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\ x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}=y_or\sin(t)+r^2\sin^2(t)+x_or\cos(t)+r^2\cos^2(t)\\\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | \int_{0}^{2\pi }\left (r^2+ y_or\sin(t)+x_or\cos(t) \right ) \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | \left [ r^2\cdot t-y_or \cos(t)+x_or\sin(t) \right ]_{0}^{2\pi } \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | r^2\cdot 2\pi -y_or\cdot\cos(2\pi )+x_or\sin(2\pi )-\left ( r^2\cdot 0-y_or\cdot \cos(0)+x_or\cdot \sin(0) \right ) \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | 2\pi r^2-y_or+y_or \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r^2\\\\&A=\pi \cdot r^2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. februar 2020 af mathon

lidt mere læsevenligt:

$\small \begin{array}{lllll}&\overrightarrow{s}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\qquad \qquad \widehat{\overrightarrow{s}}(t)=\begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\\\\\\&\overrightarrow{s}{\, }'(t)\cdot\widehat{ \overrightarrow{s}}(t)=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(t)\\r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -y_o-r\cdot \sin(t)\\ x_o+r\cdot \cos(t) \end{pmatrix}=y_or\sin(t)+r^2\sin^2(t)+x_or\cos(t)+r^2\cos^2(t)\\\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | \int_{0}^{2\pi }\left (r^2+ y_or\sin(t)+x_or\cos(t) \right ) \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | \left [ r^2\cdot t-y_or \cos(t)+x_or\sin(t) \right ]_{0}^{2\pi } \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | r^2\cdot 2\pi -y_or\cdot\cos(2\pi )+x_or\sin(2\pi )-\left ( r^2\cdot 0-y_or\cdot \cos(0)+x_or\cdot \sin(0) \right ) \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot \left | 2\pi r^2-y_or+y_or \right |\\\\&A=\frac{1}{2}\cdot 2\pi r^2\\\\&A=\pi \cdot r^2 \end{array}$

Skriv et svar til: Vektorfunktioner - Areal af cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.