Matematik

Rækker

16. maj 2020 af Bruthos - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg sidder og kigger på følgende opgave og vil gerne have lidt hjælp:

På forhånd tak


Brugbart svar (1)

Svar #1
17. maj 2020 af swpply (Slettet)

Lad r\neq0, da har du at

           \begin{align*} \frac{\frac{\log^r(n+1)}{(n+1)^p}}{\frac{\log^r(n)}{n^p}} &= \bigg(\frac{n+1}{n}\bigg)^{-p}\bigg(\frac{\log(n+1)}{\log(n)}\bigg)^r \\ &= \bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{-p}\log^r\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg) \quad\longrightarrow\quad 1^{-p}\cdot\log^r(1) = 1\cdot0^r = 0\end{align*}

eftersom at der generalt gælder at

                                                                          1 + \frac{1}{n}\quad\longrightarrow\quad 1

og dermed at ethvert p\in\mathbb{R} er rækken (iflg. forholdstesten) er konvergent for samtlige r\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Men hvad med tilfældet r=0?

I denne situation bliver rækken

                                                     \begin{align*} \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^p} = -1+\underbrace{\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}}_{p-\text{serien}} \end{align*}

hvilket er divergent for alle p\leq1 og konvergent netop for p>1.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Vi kan derfor slutte at rækken

                                                           \sum_{n=2}^\infty\frac{\log^r(n)}{n^p}

er konvergent såfremt at enten r\neq0 og p\in\mathbb{R} eller r=0 og p>1.


Brugbart svar (1)

Svar #2
17. maj 2020 af oppenede

\frac{\log(n+1)}{\log(n)}=\log_n(n+1)\ne\log\left(\frac{n+1}{n}\right)
\log_n(n+1) går mod 1.


Brugbart svar (0)

Svar #3
17. maj 2020 af swpply (Slettet)

Korrekt. Min fejl!


Svar #4
17. maj 2020 af Bruthos

Jeg kan godt forstå, hvad du gør med tilfældet for r=0, men jeg ved stadig ikke hvad jeg skal gøre for r \neq 0.

Jeg har prøvet at tegne for forskellige værdier af r og p, men det er jo ikke noget særlig godt argument.


Brugbart svar (0)

Svar #5
17. maj 2020 af swpply (Slettet)

Det er i virkelighed delopgave a) der er den svære (idet at tælleren er ét produkt af logaritmer).

Lad f:[2,\infty)\rightarrow(0,\infty) være givet ved

                                                             f(x) = \frac{\log^r(x)}{x}

for r\in\mathbb{R}.

Begnyd med at bevise at der findes et x_0>2 således at der for alle x>x_0 gælder at f er aftagende (for r\leq0 er dette selfølgelig trivielt x_0 = 2).

Vi har derfor at 

                              \begin{align*} \int_{x_0}^tf(x)\,dx &= \int_{x_0}^t\frac{\log^r(x)}{x}\,dx \\ &= \frac{1}{r+1}\int_{x_0}^t\frac{d}{dx}\log^{r+1}(x)\,dx \\ &= \frac{1}{r+1}\log^{r+1}(t) - \frac{1}{r+1}\log^{r+1}(x_0) \end{align*}

hvilket (iflg. integral testen) er konvergent for samtlige \begin{align*} r+1\leq0 \end{align*} og ellers divergent ethvert \begin{align*} r+1>0 \end{align*}.

Hermed kan vi slutte at

                                                                     \sum_{n=2}^\infty\frac{\log^r(x)}{x}

er konvergent netop når r\leq-1.


Svar #6
17. maj 2020 af Bruthos

Jeg har lige lidt spørgsmål til #5 

Jeg er blevet introduceret til integraltesten ved at:

Lad f:[1,\infty] \rightarrow \mathbb{R} være en postiv, kontinuert og aftagende funktion. 

Rækken \sum _{n=1}^\infty f(n) konvergerer, hvis og kun hvis integralet \int _1^\infty f(x)dx er endeligt.

Når du i dit svar bruger x_0 er det så, fordi man kan erstatte 1 med x_0 eller et hvilket som helst andet tal 

i sætningen for integraltesten ovenfor?

Så man viser at \sum _{x_0}^\infty \frac{log^r(x)}{x} konvergerer og dermed må \sum _{2}^\infty \frac{log^r(x)}{x} også konvergere?

Jeg har også prøvet at skrive dit udtryk for integralet:

 \int_{x_0}^t \frac{log^r(x)}{x}dx= \frac{1}{r+1}(log^{r+1}(t)-log^{r+1}(x_0)) 

og kan godt se at det konvergerer for r<-1 men, hvordan kan man afgøre for r=-1?

Du kommer vel til at dividerer med 0 i \frac{1}{r+1} i udtrykket for integralet?

Vil du desuden foreslå at bruge samme metode, for p\neq 1?

I så fald kan jeg ikke rigtig se, hvordan man bestemmer integralet \int_{x_0}^t \frac{log^r(x)}{x^p}dx?


Brugbart svar (1)

Svar #7
17. maj 2020 af swpply (Slettet)

Korrekt (for en sikkerhedsskyld bør man nok enten tage x_0 som et heltal eller skrive \left \lceil x_0 \right \rceil). Medmindre der selvfølgelig sker noget funky med de indledende led.

Jeg har vist hamret svaret i #5 lidt for hurtigt ind (noget der desvære gør sig generalt gældende for idag), men så er det godt at du går grundigt til værks og opdager mit sjuskeri. Du har ret, rækken er selvfølgelig divergent for r=-1 og det tilfælde bliver du (ligesom for r = 0) nødt til at undersøge særskilt. Det er heldivist ligetil, brug at

                                                                \frac{d}{dx}\log(\log x) = \frac{1}{x\log x}

og resultatet følger igen ved integral testen.

Ang. delopgave b) vil jeg bruge sammenligningskriteriet til at afgøre konvergens. Du har f.eks. at der for p\geq1 gælder at

                                                                                 \frac{1}{n^p}\leq\frac{1}{n}

og dermed at

                                                                      \frac{\log^r(n)}{n^p}\leq\frac{\log^r(n)}{n}

hvorfor at rækken

                                                                               \sum_{n=2}^\infty\frac{\log^r(n)}{n^p}

er konvergent for r<-1 (og tilsvarende divergent for r\geq-1).

Lad os nu undersøge tilfældet hvor p<1. Da har vi at der for samtlige n\geq3 gælder at \log(n)>1 og dermed også at \log^r(n)\geq1 for r\geq0, hvorfor at

                                                                       \frac{\log^r(n)}{n^p}\geq\frac{1}{n^p}

og dermed er rækken divergent. Nu mangler du altså kun at undersøge hvad der sker for p<1 og r<0.


Brugbart svar (1)

Svar #8
17. maj 2020 af swpply (Slettet)


Skriv et svar til: Rækker

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.