Matematik
Rækker
Jeg sidder og kigger på følgende opgave og vil gerne have lidt hjælp:
På forhånd tak
Svar #1
17. maj 2020 af swpply (Slettet)
Lad , da har du at
eftersom at der generalt gælder at
og dermed at ethvert er rækken (iflg. forholdstesten) er konvergent for samtlige .
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Men hvad med tilfældet ?
I denne situation bliver rækken
hvilket er divergent for alle og konvergent netop for .
--------------------------------------------------------------------------------------------------
Vi kan derfor slutte at rækken
er konvergent såfremt at enten og eller og .
Svar #4
17. maj 2020 af Bruthos
Jeg kan godt forstå, hvad du gør med tilfældet for r=0, men jeg ved stadig ikke hvad jeg skal gøre for .
Jeg har prøvet at tegne for forskellige værdier af r og p, men det er jo ikke noget særlig godt argument.
Svar #5
17. maj 2020 af swpply (Slettet)
Det er i virkelighed delopgave a) der er den svære (idet at tælleren er ét produkt af logaritmer).
Lad være givet ved
for .
Begnyd med at bevise at der findes et således at der for alle gælder at er aftagende (for er dette selfølgelig trivielt ).
Vi har derfor at
hvilket (iflg. integral testen) er konvergent for samtlige og ellers divergent ethvert .
Hermed kan vi slutte at
er konvergent netop når .
Svar #6
17. maj 2020 af Bruthos
Jeg har lige lidt spørgsmål til #5
Jeg er blevet introduceret til integraltesten ved at:
Lad være en postiv, kontinuert og aftagende funktion.
Rækken konvergerer, hvis og kun hvis integralet er endeligt.
Når du i dit svar bruger er det så, fordi man kan erstatte 1 med eller et hvilket som helst andet tal
i sætningen for integraltesten ovenfor?
Så man viser at konvergerer og dermed må også konvergere?
Jeg har også prøvet at skrive dit udtryk for integralet:
og kan godt se at det konvergerer for men, hvordan kan man afgøre for ?
Du kommer vel til at dividerer med 0 i i udtrykket for integralet?
Vil du desuden foreslå at bruge samme metode, for ?
I så fald kan jeg ikke rigtig se, hvordan man bestemmer integralet ?
Svar #7
17. maj 2020 af swpply (Slettet)
Korrekt (for en sikkerhedsskyld bør man nok enten tage som et heltal eller skrive ). Medmindre der selvfølgelig sker noget funky med de indledende led.
Jeg har vist hamret svaret i #5 lidt for hurtigt ind (noget der desvære gør sig generalt gældende for idag), men så er det godt at du går grundigt til værks og opdager mit sjuskeri. Du har ret, rækken er selvfølgelig divergent for og det tilfælde bliver du (ligesom for r = 0) nødt til at undersøge særskilt. Det er heldivist ligetil, brug at
og resultatet følger igen ved integral testen.
Ang. delopgave b) vil jeg bruge sammenligningskriteriet til at afgøre konvergens. Du har f.eks. at der for gælder at
og dermed at
hvorfor at rækken
er konvergent for (og tilsvarende divergent for ).
Lad os nu undersøge tilfældet hvor . Da har vi at der for samtlige gælder at og dermed også at for , hvorfor at
og dermed er rækken divergent. Nu mangler du altså kun at undersøge hvad der sker for og .
Skriv et svar til: Rækker
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.