Matematik

eksponentielle funktioner

21. september kl. 22:02 af nutellaelsker - Niveau: C-niveau

opgaven lyder således: En kendt børnegåde lyder omtrent som følger: I en sø er der en åkande, som fordobler sin størrelse hvert døgn. Hvis åkanden dækker hele søen efter 30 døgn, hvor mange døgn er der så gået, når åkanden dækker halvdelen af søen?

Forklar, hvorfor gåden handler om eksponentiel vækst, og at svaret på spørgsmålet er 29 døgn.

facit siger at det giver 29 døgn? Kan nogen forklare mig dette og hvordan? jeg havde regnet med at det var 15 døgn eftersom at kun halvdelen af søen der dækkes. 
Hvor stor en procentdel af søen er dækket efter 27 døgn?

Kan i også forklare mig dette? facit siger at det giver 12,5%
Hvis åkanden har arealet 0,1 m2 i begyndelsen, hvad er da arealet af den efter 15 døgn?


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. september kl. 22:36 af peter lind

Hvis dækket fordobles hver døgn kan man lige soå godt sige at det et døgn tidliger var halvt så meget Konklusionen på det er altså at den et døg før er at den var halvdelen og to døgn før var var det have af det og altså ½*½ = 1/4 = 25% o.s.v


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. september kl. 23:00 af ringstedLC

Hvis nu det var 15 døgn og åkanden har den uendeligt lille størrelse b i dgn0 , så ville væksten/dgn. være 1/30, og altså konstant. Størrelsen s(t) er en funktion af tiden t i døgn:

\begin{align*} s(t) &= \tfrac{1}{30}\cdot t+b\;,\;0<t\leq 30 \end{align*}

Det er en lineær funktion. Indsæt forskellige værdier af t og se at s(t) vokser med en konstant tilvækst pr. dgn.

Men åkanden vokser jo netop ikke med en fast tilvækst pr. dgn. Den fordobler (ganger med 2 ≈ + 100%) sin størrelse hvert døgn:

\begin{align*} s(t) &= b\cdot 2^t\;,\;0<t\leq 30 \end{align*}

Det er en eksponentiel funktion. Igen; indsæt forskellige værdier af t og se at s(t) fordobles, når t øges med "1". Husk at a0 = 1 og a1 = a.

"Børn" har jo ikke hørt noget om eksponentiel vækst, men et klogt hoved ville måske sige, at når åkanden bliver dobbelt så stor hvert døgn, så må den have været halvt så stor som søen dagen før den dækker hele søen.


Svar #3
22. september kl. 11:16 af nutellaelsker

nårghh ok tak Peter Lind. nu forstår jeg det.

RIngsted LC, har ikke forstået det du skriver, da jeg ikke er nået dertil endnu, men tak alligevel. Vil kigge på det for at blive lidt klogere på det.


Skriv et svar til: eksponentielle funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.