Differentiere

Man benytter det faktum, at (log(f(x))' = f '(x)/f(x) for en passende funktion f, kaldet logaritmisk differentiation.

Jeg vil tro, at både x og k afhænger af t (dvs. x = x(t), k = k(t)), og α er konstant. Tager man logaritmen på hver side, fås log(x) = (1-α)log(k). Derefter, ved at differentiere på hver side mht. t, fås x'/x = (1-α)k'/k.

#0 Bemærk, at k er en variable, afhængig af t. Skrevet anderledes                                                                                                                                            k'(t) = σ·k(t) - (n - δ)·k(t).         (×)                                                   Hjælpevariablen x(t) := k(t)^1-α, skal log-differentieres, dvs. først tages logaritmen på begge sider af lighedstegnet og derefter differentieres der mht. t, på begge sider af lighedstegnet:                                              1) log_a( x(t) ) = (1- α)·log_a( k(t))                                                                                                                              2) ( log_a( x(t) ) )' =  ( (1- α)·log_a( k(t)) )' ⇔ x'(t)/x(t) = (1- α)·( k'(t)/k(t) ), hvor x(t) ≠ 0 og k(t) ≠ 0.

#6 Ja                                                                                                                                                                      #7 Ved bl.a. at bruge en potensregneregl: (k^α)/k¹ = k^α-1 = k^-(1-α)

#9 Udtrykket x(t) er jo løsningen til differentialligningen. 

#11 Dette er indforstået. Dine variable k og x afhænger af t. Hvis du gerne vil løse ligningen, kan følgende formulering anvendes:

                                                               x'(t) + a·x(t) = b ⇔ C·e^-at + b/a 

Med a = (1-α)(n+δ) og b = (1-α)δ har du                                                                                                                                                                     x(t) = C·e^{-(1-α)(n+δ)t} + ( δ/(n+δ) )                                                                    For t = 0 er C = x(0) - δ/(n+δ) og dermed får du løsningen                                                                                                                                        x(t) = [ x(0) - δ/(n+δ) ]·e^{-(1-α)(n+δ)t} + ( δ/(n+δ) ) 

#13 At a = (1-α)(n+δ) kan aflæses ud din ligning, idet konstanten a er ganget på en variabel, som er x(t).  

#15 Ja, ligningen bruges til at aflæse konstanterne a og b.

#17 Ved at omskrive din differentialligning så leddene har samme stilling som dens generelle version skrevet i #12. Prøv at omskrive den.

#19 Ja, det letter aflæsningen af konstanterne.