Diskret matematik

#0 En ide er "at regne baglæns". Start med et polynomium i faktoriseret form og aflæs dens tilhørende rødder, der opfylder de nævnte krav. Til sidst opskrives rekursionsligningen. 

Betragt f.eks. polynomiet  P: C → C, hvor                                                                                                                                                                                   P(λ) = (λ + 2)²·(λ+1)¹.                                                                  Der er to ting der står klart. Det første er polynomiet er af 3.grad, og derfor må rekursionsligningen være 3. orden. Det andet er, at ligningen P(λ) = 0, giver rødderne λ₁ = - 1 og  λ₂ = - 2. Men hvad med deres (rod)multiplicitet?  Algebraens fundamentalsætning siger flg.:

Lad P: C → C være et n'te grads polynomium, der er defineret på C, og som har værdier i C. Polynomiet P har da præcis n komplekse rødder, når man regner med røddernes multiplicitet.

Da P har to rødder, skal summen af deres multiplicitet give 3. Som det kan aflæses i P's forskrift har de lineære faktorer, λ + 2 og λ + 1, eksponenten hhv. 2 og 1. Dvs. multipliciteten til λ₁ og λ₂ er hhv. 2 og 1. Omskrives forskriften til 

                                                                    P(λ) =  λ³ + 5λ² + 8λ¹ - 4λ⁰                                                              er det nu klart, at den tilhørende homogene differensligning er

                                                                    x_t+3 + 5x_t+2 + 8x_t+1 - 4x_t = 0.

Rettelse til linje 5 fra bunden i #1.

                                                             Multipliciteten til λ₂ og λ₁ er hhv. 2 og 1.

Mange tak for en god forklaring.. Jeg har nu løst opgaven.