Matematik

Exp opløftet i noget negativt.

21. januar 2021 af Warrio - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg sidder og tænker over noget som jeg ikke helt selv kan give svar på. Jeg får givet følgende udtryk:

$e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds}$

Jeg ved, at for

$t \to \infty$ vil $e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \to 0$ . Det giver også mening, da jeg får givet, at f(s) er en stigende funktion.

Dog er jeg ikke sikker på hvordan man så ved, at

$1-e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds}$ er ikke-negativ. Altså, at

$0 \leq 1-e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \leq 1$ .

den er større end eller lig med nul fordi exp aldrig kan være negativ. Men hvordan kan man være sikker på, at den vil være mindre end eller lig med 1? Hvorfor kan den ikke være større end 1?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. januar 2021 af kraftværket

Der mangler noget information, for e^-x er større end 1 for alle x<0.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. januar 2021 af kraftværket

Er f(s)>0 for alle s, så gælder det klart , idet e^-n<=1 for alle n>0.

Svar #3
21. januar 2021 af Warrio

Jeg ved, at f(s) er en ikke-negativ funktion og at

$\int_{t_n}^tf(s)ds \to \infty$ for $t \to \infty$ .

Derudover har jeg også fået givet, at

$1-e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds}$

er en stigende funktion. Mere får jeg ikke givet. Mangler der stadig noget?

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. januar 2021 af peter lind

Det kan man heller ikke. Det kommer an på t_n og f(s). Det gælder kun hvis f(t) ≥ 0 for alle tilladte værdier af t

Svar #5
21. januar 2021 af Warrio

#4
Det kan man heller ikke. Det kommer an på t_n og f(s). Det gælder kun hvis f(t) ≥ 0 for alle tilladte værdier af t

Ja, jeg får også givet at f(t) er ikke-negativ. Men hvorfor gælder det så, at udtrykket er mindre eller lig med 1?

Svar #6
21. januar 2021 af Warrio

Men hvis man ved, at

$1 - e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \to 1$ for $t \to \infty$

betyder det så ikke også, at

$0 \leq 1- e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \leq 1$

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. januar 2021 af peter lind

e^-x er 1 for x=0 og monoton aftagende for x>0 Prøv evt. at lave er graf for e^-x

Svar #8
21. januar 2021 af Warrio

Kan man også bruge argumentet som i #6 ?

Svar #9
21. januar 2021 af Warrio

#7
e^-x er 1 for x=0 og monoton aftagende for x>0 Prøv evt. at lave er graf for e^-x

Måske skulle jeg spørge lidt anderledes: Hvad sker der for

$\int_{t_n}^tf(s)ds$ når $t \to 0$ ? vil den ikke, bevæge sig mod et tal som afhænger af t_n? Vi kan måske kalde det, $\alpha(t_n)$ .

Og fordi t_n er fast, har vi så ikke, at

$e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \to e^{-\alpha(t_n)}$ for $t \to 0$ .

Derudover ved vi også, at $\alpha(t_n) \geq 0$ fordi vi ved, at $t \geq t_n$ , ikke? Samt at for $t \to 0$ vil $t_n \to 0$ .

Vil man så ikke derved få, at

$\alpha(t_n) = \int_{t_n}^t f(s)ds \to \int_0^0 f(s)ds = 0$ .

Så i den værste tilfælde vil alpha(t_n)= 0, men ellers vil den være større end 0.

Vil det så ikke sige, at

$e^{- \alpha(t_n)} \leq e^0$ og derved vil man få, at

$1-e^{-\alpha(t_n)}\geq1-e^0=0$ ,

hvorfor vi da har, at $1-e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \geq 0$ .

Og det andet kan ses ved at vi ved, at exp kan aldrig blive negativ og i værste tilfælde kan blive 0. Det vil sige man vil få, at

$1-e^{-\int_{t_n}^tf(s)ds} \leq 1 - 0 = 1$ .

Jeg sidder og "tænker højt", men giver ovenstående mening? Eller er der noget af det som ikke er sandt måske?

Brugbart svar (0)

Svar #10
21. januar 2021 af peter lind

Du gør det alt for indviklet

Hvis t_n < t og f(s) > 0 bliver integralet positivt

integralet med modsat fortegn bliver negatv

e opløftet til et negativt tal bliver mindre end 1

Skriv et svar til: Exp opløftet i noget negativt.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.