Matematik

Konvergens og sum

21. maj 2021 af K22 - Niveau: Universitet/Videregående

Er der nogen, der kan give nogle hints til denne opgave? Er helt på barbund.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-05-21 kl. 19.53.54.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
21. maj 2021 af Mathias7878

For at vise at rækken konvergerer, kan du lave sammenligningen

$\frac{\left[\frac{n}{\pi}\right]}{n^4} = \frac{1}{\pi n^3} < \frac{1}{n^3}$

hvor

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^3}$

som i din tidligere opgave er kendt konvergent. Det følger således af sammenligngskriteriet at rækken

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{\left[\frac{n}{\pi}\right]}{n^4}$

er konvergent. Jeg ved dog ikke, hvordan du udregner summen. Det har jeg umiddelbart ikke lært, hvordan man gør.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. maj 2021 af janhaa

1/n³ converges

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%281%2Fn%5E3%29+from+1+to+infty

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. maj 2021 af Mathias7878

Wolframalpha giver dog svaret, at den konvergerer mod 0.38263. Se gerne

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%7Bn+%3D+1%7D%5E%5Cinfty+%28n%2F%5Cpi%29%2Fn%5E4

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. maj 2021 af Mathias7878

#2 bemærk, at du har skrevet n = 0 og ikke n = 1.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. maj 2021 af janhaa

#4
#2 bemærk, at du har skrevet n = 0 og ikke n = 1.

agree, but it's a ceiling function

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_%7Bn+%3D+1%7D%5E%5Cinfty+%28ceiling%28n%2F%5Cpi%29%29%2Fn%5E4

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. maj 2021 af Mathias7878

Oh ok. I didn't know that [ ] was a ceiling function but I guess as you said that the comparison with 1/n^3 still works though.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. maj 2021 af janhaa

#1
For at vise at rækken konvergerer, kan du lave sammenligningen

$\frac{\left \lceil \frac{n}{\pi} \right \rceil}{n^4} = \frac{1}{\pi n^3} < \frac{1}{n^3}$

hvor

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n^3}$

som i din tidligere opgave er kendt konvergent. Det følger således af sammenligngskriteriet at rækken

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{\left[\frac{n}{\pi}\right]}{n^4}$

er konvergent. Jeg ved dog ikke, hvordan du udregner summen. Det har jeg umiddelbart ikke lært, hvordan man gør.

dette stemmer da:

$\sum_{n = 1}^\infty \frac{\left \lceil \frac{n}{\pi} \right \rceil}{n^4} = \frac{1}{\pi n^3} < \frac{1}{n^3}< \sum_1^{\infty} \frac{1}{n^3}\\ \\ 1,092 < \zeta(3)=1,202$

you are right...

Svar #8
21. maj 2021 af K22

Mange tak! Mathias, hvordan kommer du frem til det, der står i det andet lighedstegn? n/pi/n^4 = 1/pi*n^3

Brugbart svar (2)

Svar #9
21. maj 2021 af Eksperimentalfysikeren

Jeg har ikke nogen løsning, men kan sige, at de foreslåede løsninger ikke passer med det givne.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left \lceil \frac{n}{\pi} \right \rceil}{n^{4}}$

er ikke det samme som

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left [ \frac{n}{\pi} \right ] }{n^{4}}$

I tælleren i første tilfælde er der tale om ceiling, som er det mindste hele tal større end eller lig med børken, i det andet tilfælde er der tale om den hele del, som er det største heltal mindre end eller lig med brøken.

Jeg vil tro, at opgaven kan løses ved at finde to rækker, hvor den enes elementer alle er større end i den givne og den andens elementer alle er mindre end i den givne. De to rækker skal selvfølgelig vælges, så det ikke er for svært at finde deres summer.

Brugbart svar (2)

Svar #10
22. maj 2021 af oppenede

#9 Den mest brugte notation for "det største heltal mindre end eller lig med brøken" er altså .
Den "hele del" svarer derimod til heltalsafrundning mod 0 (som at cifrene efter kommaet viskes ud).

#0 Den nedre grænse følger alene af det første led.
Den øvre grænse kan opnås ved at tage de første 3 led, og for de resterende led addere med 1 i stedet for at afrunde op hvormed du nemt får et estimat ved hjælp af integraler.

$\begin{align*} 1=\sum_{n=1}^1\frac{\lceil\frac{n}{\pi}\rceil}{n^4}<\sum_{n=1}^\infty\frac{\lceil\frac{n}{\pi}\rceil}{n^4} &<\sum_{n=1}^3\frac{1}{n^4}+\sum_{n=4}^\infty\frac{\frac{n}{\pi}+1}{n^4} \\&=\sum_{n=1}^3\frac{1}{n^4}+\sum_{n=4}^\infty\frac{1}{n^4}+\frac{1}{\pi} \sum_{n=4}^\infty\frac{1}{n^3} \\&\leq\sum_{n=1}^3\frac{1}{n^4}+\int_{3.5}^\infty\frac{1}{n^4}dn+\frac{1}{\pi} \int_{n=3.5}^\infty\frac{1}{n^3}dn \\&=\frac{1393}{1296}+\frac{8}{1029}+\frac{2}{49 \pi }\approx1.095<1.1 \end{align*}$

Arealet under grafen mellem 3.5 og 4.5 er større end sumleddet for n=4, da 1/n^p er konveks for n>0.

Svar #11
22. maj 2021 af K22

#10 Hvorfor sætter du n = 4, og hvorfor splitter du summen op?

Brugbart svar (0)

Svar #12
22. maj 2021 af oppenede

Fordi estimatet ikke bliver lavt nok hvis du bruger integraler for lavere n.

Svar #13
26. maj 2021 af K22

Har du brugt integraltest i din besvarelse?

Brugbart svar (1)

Svar #14
27. maj 2021 af AskTheAfghan

#13 Ikke helt, men teknikken i det fremragende bevis af oppenede minder om beviset for integraltesten. Hvis du ikke er bekendt med konveksitet, kan du gøre det på følgende måde. Først med et lemma.

Lemma: Hvis f er en aftagende funktion på [1,∞), og det uegentlige integral ∫₁^∞ f(x) dx konvergerer, så gælder

$\int_{N+1}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\leq \sum_{n\geq N+1}f(n)\leq \int_{N}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x$

for alle N∈N.

Bevis: Øvelse.

Ved hjælp af lemma'et (den 2. ulighed), fås

$\sum_{n\geq 5}\frac{\left \lceil n/\pi \right \rceil}{n^4}<\sum_{n\geq 5}\frac{n/\pi +1}{n^4}\leq \int_{5}^\infty \frac{x/\pi +1}{x^4}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{32\pi}+\frac{1}{192}$

Dermed er

$1<\sum_{n\geq 1}\frac{\left \lceil n/\pi \right \rceil}{n^4}=\sum_{n=1}^4\frac{\left \lceil n/\pi \right \rceil}{n^4}+\sum_{n\geq 5}\frac{\left \lceil n/\pi \right \rceil}{n^4}<\dots$

Kan du tage den herfra?

Skriv et svar til: Konvergens og sum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.