Cylinders rumfang, Vejen til Matematik B2, Opgave 148, Side 161, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Jeg kan se at det er en opgave, der er blevet stillet tidligere, og som er besvaret af mathon, men jeg har nogle spørgsmål til nogle mellemregninger.

En cylinder er indskrevet i en kugle med radius 3 , Hvilken højde h skal cylinderen have for at dens rumfang bliver størst muligt.

Jeg har tegnet kuglen med en passer, og i kuglen har jeg tegnet et plant, lodret tværsnit gennem kuglens centrum og dernæst indtegnet et rektangel i kuglens cirkel.

Dernæst er indtegnet radius fra cirklens centrum til rektanglets øverste side den halve cylinderhøjde, h/2

Vinlen mellem (h/2) og radius  r i cirklen kaldes θ

Som du skriver har man nu:

                                             (h/2) = r* cos(θ) 

                                                 h  = 2*r*cos(θ)

                                                r₁   = r*sin(θ)               r₁ er cylinderens radius 

                                                                                    så skulle sin(θ) = r₁ / r

                                                                                    men ser jeg på tegningen  så er r₁ hypotenusen og

                                                                                    r er den hosliggende katete og i følge

                                                                                     definitionen er sin A = den modstående katete /                                                                                                                                   hypotenusen

                                                                                                         så sin A = a/c

hvoraf 

             V = r*sin(θ)*r₁²                                               V er cylinderens volume

Som ved indsættelse giver 

V = (2r*cos(θ))*π*(r²*sin²(θ))

V = 2πr³(cos(θ) - cos³(θ))       har du gjort følgende cos²(θ) + sin²(θ) = 1     

                                                                                                  sin²(θ) = 1 - cos²(θ)

                                                                   således at cos(θ) * sin²(θ)  = cos(θ) (1- cos²(θ)) 

                                                                                                               = cos(θ) - cos³(θ)

V = 54πr³ * (cos(θ) - cos³ (θ)) som differentieres

V^' = 54π (-sin(θ) - 3cos²(θ) * (-sin(θ))         Hvordan får du (cos³)^'  til at blive til  -3cos²(θ) * (-sin(θ))

V^' = 54π (3(1-sin²(θ)) * sin(θ) - sin(θ))

V^' = 54π *sin(θ) * [2 - 3sin²(θ)] = 0 hvoraf maksimum vinklen beregnes 

                                                       ved brug af nul-reglen for 0 < θ < (π/2)

                                                       i hvilket interval sin(θ) > 0

hvoraf kun 2 - 3sin²⁽(θ) = 0

                     -3sin²(θ) = -2

                        sin²(θ) = 2/3   

h = 2 *r * cos(θ) = 2*3*√(1 -sin²(θ) = 2 * 3 * √(1 - (2/3)) = 2√(3)

Er cos(θ) = (1 - sin²(θ) ) regnet ud på følgende måde

cos²(θ) + sin²(θ) = 1

cos²(θ) = 1 - sin²(θ) 

√cos²(θ) = √(1 - sin²(θ) )

cos(θ) = √(1- sin²(θ)) som så er indsat i ovenstående ligning

så man altså får

h = 2 * 3 cos(θ) = 2 * 3 *√(1 - sin(θ)) = 2 * 3 √(1 - (2/3)) = 2√(3) 

Uden brug af f.eks TI - 89 Titanium eller et matematikprogram, hvordan regneteknisk omformer man 

2 * 3 *√(1 - (/3)) til 2√3

På forhånd tak