Matematik

Lineær Algebra - Vis at for alle heltal n større eller lig med 1

13. december 2021 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg skal vise at (iv) holder. Opgaveformuleringen lyder som følgende:

Vis, at for alle heltal $n\geq 1,$ vi har $D_{n+2}=aD_{n+1}-b^{2}D_n$

Min fremgangsmetode var egentlig bare at vise at

$D_n=aD_{n-1}-bD_{n-2}$

også argumenter at indekset er forskudt, men problemet er at jeg ikke kan få udtrykket til at give $b^2$ .

Kan nogen hjælpe?

Opgaven er vedhæftede

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-12-12 kl. 22.41.42.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2021 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2031834.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. december 2021 af gavs (Slettet)

Jeg har arbejdet med samme opgave. Lav Laplaceudvikling efter første søjle på matricen og lav derefter Laplaceudvikling efter første række på den 2,1'te-undermatrix af den oprindelige matrix.

Svar #3
13. december 2021 af louisesørensen2

Kan godt se hvordan det giver $b^2$ at udføre laplace på 1,2'te og derefter på 2,1'te, men hvorfor må jeg det?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. december 2021 af gavs (Slettet)

Hvad mener du med, hvorfor du må det? Det er sådan, man gør, når man bruger denne metode.

Svar #5
13. december 2021 af louisesørensen2

Hvis jeg vil løse $det(A_n)$ kan jeg se at jeg får

$det(A_n)=a\cdot det(A_{n-1})-b\cdot det(A_{n-2})+b\cdot det(A_{n-2}) \newline \Updownarrow \newline det(A_n)=a\cdot det(A_{n-1})-b\cdot det(A_{n-2})-b\cdot det(A_{n-2})$

Hvorfor må jeg ændrer fortegnet?

Brugbart svar (0)

Svar #6
13. december 2021 af gavs (Slettet)

Fordi det er sådan man gør. Fortegnene ved Laplaceudvikling følger denne struktur:

$\begin{bmatrix} + & - & +\\ -& +&- \\ +& - & + \end{bmatrix}$

Så determinanten til 1,1'te undermatrix har positivt fortegn, determinanten til 1,2'te undermatrix har negativt fortegn, etc.

Svar #7
13. december 2021 af louisesørensen2

Når ja... jesus... Tak!

Svar #8
13. december 2021 af louisesørensen2

Gavs, jeg undrer mig - hvordan kan det være at det bliver $...-b^{2}det(A_{n-2})$ og ikke $...-2b\cdot det(A_{n-2})$ ?

Det er jo ikke fordi at de to $...-b\cdot det(A_{n-2})$ ganges sammen, de adderes jo blot.

Brugbart svar (0)

Svar #9
13. december 2021 af gavs (Slettet)

$det(\begin{bmatrix} a & b &0 \\ b& a &b \\ 0 &b &a \end{bmatrix})=adet(\begin{bmatrix} a & b\\ b &a \end{bmatrix})-bdet(\begin{bmatrix} b &0 \\ b & a \end{bmatrix})$

$=adet(\begin{bmatrix} a & b\\ b &a \end{bmatrix})-b (ba-b0)=adet(\begin{bmatrix} a & b\\ b &a \end{bmatrix})-b^2a$

$=adet(\begin{bmatrix} a & b\\ b &a \end{bmatrix})-b^2det(a)$

Svar #10
13. december 2021 af louisesørensen2

thanks man

Brugbart svar (0)

Svar #11
13. december 2021 af gavs (Slettet)

De to vigtige argumenter er jo, at uanset hvor stor matricen er, så er 1. og 2. indgang i 1. søjle altid de eneste ikke-0-elementer, og derfor opstår der kun 2 led, når man laver Laplaceudvikling efter 1. søjle. På samme måde vil der maksimalt opstå 1 ikke-0-led, når du laver Laplaceudvikling efter 1. række på den 2,1'te undermatrix.

Skriv et svar til: Lineær Algebra - Vis at for alle heltal n større eller lig med 1

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.