Matematik

Skæringspunkt mellem to parameterfremstillinger

26. december 2021 af Markus2300 - Niveau: A-niveau

Jeg skal finde et skæringspunkt mellem to parameterfremstillinger. Jeg har fundet ud af hvad de er, men har problemer med at udregne hvordan man finder selve skæringspunktet.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2021-12-26 kl. 15.14.17.png

Svar #1
26. december 2021 af Markus2300

Her er i øvrigt hvad jeg har fundet frem til

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-12-26 kl. 15.12.43.png

Svar #2
26. december 2021 af Markus2300

Jeg ved at det ligger i punktet (-1.33,1.33) men får en forkert x-koordinat

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2021-12-26 kl. 15.17.38.png

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. december 2021 af StoreNord

De to værdier du finder er ikke x og y, men de to tangenters tidspunkter for skæring.

For at finde punktet skal du indsætte et af tidspunkterne i en tangents parameterfremstilling.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. december 2021 af ringstedLC

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. december 2021 af ringstedLC

#3 er delvis rigtig. Begge t-værdier skal indsættes i begge p.-fremstillinger. Det giver fire punkter, hvoraf to er det samme punkt. Dét punkt er løsningen.

Brugbart svar (1)

Svar #6
26. december 2021 af ringstedLC

Brug istedet vektorens koordinatfunktioner for at bestemme tangenterne:

$\begin{align*} x(t) &= t^3-t \;,\;y(t)=t \\ x'(t) &= 3t^2-1 \\ y_m:y &= x'(0)\cdot \bigl((x-x(0)\bigr)+y(0) \\ y_n:y &= x'(2)\cdot \bigl((x-x(2)\bigr)+y(2) \\ y_m &= y_n \Rightarrow (x,y)= \\ \end{align*}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. december 2021 af ringstedLC

Når tangenternes parameterfremstiling haves, kan de omregnes til ligninger for at omgå parametrene:

$\begin{align*} \binom{x}{y} &= \binom{x_0}{y_0}+t\cdot \binom{1}{{\color{Red} a}}\;,\;t\in \mathbb{R} \\ y &= {\color{Red} a}(x-x_0)+y_0 \\\\ m:\binom{x}{y} &= \binom{0}{0}+u\cdot \binom{-1}{1} \\&=\binom{0}{0}+u\cdot(-1)\cdot \binom{1}{-1} \\ y_m &= (...) \\\\ n:\binom{x}{y} &= \binom{6}{2}+v\cdot \binom{11}{1} \\ y_n &= (...) \\ y_m &= y_n \Rightarrow (...) = (...) \Rightarrow (x,y)= \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. december 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}&& \overrightarrow{s}(t)=\begin{pmatrix} t^3-t\\t \end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}\\\\&&\overrightarrow{s}(0)=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\qquad \overrightarrow{s}(2)=\begin{pmatrix} 2^3-2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix}\\\\\\&& \overrightarrow{s}{\, }'(t)=\begin{pmatrix} 3t^2-1\\1 \end{pmatrix}\\\\&&\qquad\qquad\qquad \begin{array}{|c|c|c|}\textbf{punkt}&\textbf{retningsvektor}&\textbf{normalvektor}\\ \hline&&\\ (0,0)&\bigl(\begin{smallmatrix} -1\\1 \end{smallmatrix}\bigr)&-\bigl(\begin{smallmatrix} -1\\-1 \end{smallmatrix}\bigr)=\bigl(\begin{smallmatrix} 1\\1 \end{smallmatrix}\bigr)\\ &&\\ \hline&&\\ (6,2)&\bigl(\begin{smallmatrix} 11\\1 \end{smallmatrix}\bigr)&\bigl(\begin{smallmatrix} -1\\11 \end{smallmatrix}\bigr)\\&&\\ \hline \end{array}\\\\ \textbf{Tangent i (0,0):}\\\\&& m\textup{:}\quad \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=0\\\\&& m\textup{:}\quad y=-x\\\\\\ \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
27. december 2021 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} \textbf{Tangent i (6,2):}\\\\&& n\textup{:}\quad \begin{pmatrix} -1\\11 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-6\\y-2 \end{pmatrix}=0\\\\&& n\textup{:}\quad -x+6+11y-22=0\\\\&&n\textup{:}\quad-x+11y=16 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
27. december 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{Tangentsk\ae ring:}\\\\&& -x+11\cdot \left ( -x \right )=16\\\\&& -x-11x=16\\\\&& -12x=16\\\\&& 3x=-4\\\\&& x=-\frac{4}{3}\\ \textbf{Sk\ae ringspunkt:}\\&& (x,y)=(x,-y)=\left ( -\frac{4}{3},\frac{4}{3} \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. december 2021 af mathon

#0
Overskriften bør være
Tangentskæring

Brugbart svar (1)

Svar #12
27. december 2021 af mathon

mindre taste-rettelse:

$\small \small \small \begin{array}{lllllll} \textbf{Tangentsk\ae ring:}\\\\&& -x+11\cdot \left ( -x \right )=16\\\\&& -x-11x=16\\\\&& -12x=16\\\\&& 3x=-4\\\\&& x=-\frac{4}{3}\\ \textbf{Sk\ae ringspunkt:}\\&& (x,y)=(x,-\mathbf{{\color{Red} x}})=\left ( -\frac{4}{3},\frac{4}{3} \right ) \end{array}$

Skriv et svar til: Skæringspunkt mellem to parameterfremstillinger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.