Side 2 - Hvad menes der med "restriktionen af f"?

#18

#0. Svar til b). Nedenfor er vist Hessematricen, Taylor approximationen i anden orden og en graf for f(x,y) - P₂(x,y). Største fejl = 0,0012. (Arten af P₂ kender jeg ikke).

Jeg glemte at skrive Taylorpolynomiet ud: 

Undskyld jeg spørger igen:// 

Men hvordan kommer du frem til at den største fejl er 0,0012?

#21...hvordan kommer du frem til at den største fejl er 0,0012?

Jeg aflæser på grafen. Den største forskel på f og P₂ findes i hjørnerne. Du skal selvfølgelig lave en nærmere undersøgelse af f - P₂ herunder af randen.

#22

#21...hvordan kommer du frem til at den største fejl er 0,0012?

Jeg aflæser på grafen. Den største forskel på f og P₂ findes i hjørnerne. Du skal selvfølgelig lave en nærmere undersøgelse af f - P₂ herunder af randen.

okay det kan jeg godt se, og det er også den værdi jeg får når jeg undersøger randen. 

Men hvordan kan det være at forskellen skal tages fra xy-planen? 

Igen mange tak for den store hjælp!

#23...Men hvordan kan det være at forskellen skal tages fra xy-planen?...

Fordi man ser på f - P₂.

I øvrigt er P₂(x,y) = 1 - (5/4)·x⁴ - y², når man forenkler

#6

#4. Restriktionen af f til en ret linje y = a·x + b (a ≠ 0) er en funktion, g(x) = f(x,a·x + b). Da y går gennem (0,0), så er b = 0. Dvs.: g(x) = -(1/4)·x⁴ + (5/4)·a·x³ - a²·x² + 1 og g(0) = 1.

g'(x) = -x³ + (15/4)·a·x² - 2·a²·x.

g'(x) = 0 ⇔ -x³ + (15/4)·a·x² - 2·a²·x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = (15/8 + (1/8)√97)·a ∨ x = (15/8 - (1/8)√97)·a.

g''(x) = -3·x² + (15/2)·a·x - 2·a² ⇒ g''(0) = -2·a². Da g''(0) < 0 for alle a, så er g(0) lokalt maksimum for alle a og dermed har alle restriktioner af f til en ret linje gennem B lokalt maksimum i B. 

Hvad er grunden til at du sætter g'(x)=0? og hvad bruger du disse resultater til? :))

#25. g(x) = f(x,ax) som nævnt i #6 og efterfølgende. Man har en funktion af en variabel og skal finde dens ekstrema. Dette gøres ved at finde løsningerne til g'(x) = 0.

Som sagt er dette: x = 0 ∨ x = (15/8 + (1/8)√97)·a ∨ x = (15/8 - (1/8)√97)·a.

Dvs. generelt vil der være 3 ekstremer som vist nedenunder (a = 0,5).

#26

#25. g(x) = f(x,ax) som nævnt i #6 og efterfølgende. Man har en funktion af en variabel og skal finde dens ekstrema. Dette gøres ved at finde løsningerne til g'(x) = 0.

Som sagt er dette: x = 0 ∨ x = (15/8 + (1/8)√97)·a ∨ x = (15/8 - (1/8)√97)·a.

Dvs. generelt vil der være 3 ekstremer som vist nedenunder (a = 0,5).

Okay, men hvad er så grunden til at man kun finder g''(x) hvor x=0, og ikke for de andre værdier?

#27. Hvis g'(x₀) = 0 og g''(x₀) < 0, så har man maksimum i x₀ for g.

Hvis derimod g'(x₀) = 0 og g''(x₀) = 0, så kræver det en nærmere undersøgelse. F.eks. g(x) = x³. Her har man: g'(0) = 0, g''(0). En nærmere undersøgelse viser, at g har vandret vendetangent i x = 0. For g(x) = x⁴ gælder også, at g'(0) = 0, g''(0), men her er x = 0 et maksimum.