Matematik

Undersøg om følgende er analytisk

02. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

Jeg har følgende opgave:

Afgør, om funktionen g: R->R givet ved

g(x)=\int_{0}^xsin(t^2)dt

er analytisk, og bestem dens Taylorrække i bekræftende tilfælde.

Jeg har ingen idé hvordan denne gribes an, da det jo ikke nytter noget at bestemme integralet.

Har i nogle idéer?


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. juni 2022 af migmigmig22 (Slettet)

Du kan bruge potensrækkefremstillingen for sin(x)


Svar #2
02. juni 2022 af louisesørensen2

Så langt er jeg nået, men så ender jeg med

\int_{0}^xsin(t^2)dt=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\int_{0} ^x t^{4n+2} dt

Skal jeg så bare substituere?


Brugbart svar (0)

Svar #3
02. juni 2022 af Soeffi

#0. Du har vel at...

g'(x)=\left ( \int_{0}^xsin(t^2)dt \right )' = sin(x^2)

til at bestemme Taylor-rækken med.


Svar #4
02. juni 2022 af louisesørensen2

Så jeg skal blot antage at g er analytisk også vise jeg kan opskrive g som et taylorpolynoium?

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. juni 2022 af Soeffi

#4. Hvis g har et Taylor-polynimium, så er den analytisk. En forudsætning for at kunne skrive et Taylor-polynomium er at g er uendelig differentiabel og det er sin(x2), da den er sammensat af to uendeligt differentiable funktioner. Dette er dog ikke nok til et bevis(?)


Skriv et svar til: Undersøg om følgende er analytisk

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.