Matematik

Cantor mængde

05. august kl. 04:47 af Stats - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg kan ikke helt se hvorfor man siger at Cantor mængder er overtællelige?

_________
___      ___     1.
_  _      _  _     2.
. . . .     . . . .    3.

Vi "labler" hver af disse delmængder, således at vi kan skrive L for "Left" og R for "Right"

1.                  L                                                 R
2.      LL                  LR                        RL                  RR
3. LLL   LLR      LRL   LRR            RLL   RLR      RRL   RRR

osv. osv.

Vi ved nu, at hvert hjørne i hver streg, angiver et element i Cantor mængden... Men lad os prøve at se på en anden måde at skrive tal på... Lad L = even number og R = Odd number. Vi har derfor

2 = L = (I)·2
3 = R = (I)·2 + 1
4 = LL = [(I)·2]L = (2)·2 = 4
5 = LR = [(I)·2]R = (2)·2 + 1 = 5
6 = RL = [(I)·2 + 1]L = (3)·2 = 6
7 = RR = [(I)·2 + 1]R = (3)·2 + 1 = 7
8 = LLL = [(I)·2]LL = [(2)·2]L = (4)·2 = 8
9 = LLR = [(I)·2]LR = [(2)·2]R = (4)·2 + 1
10 = LRL = [(I)·2]RL = [(2)·2 + 1]L = (5)·2
11 = LRR = [(I)·2]RR = [(2)·2 + 1]R = (5)·2 + 1 = 11
12 = RLL = [(I)·2 + 1]LL = [(3)·2]L = (6)·2 = 12
osv. osv. osv. Det vil sige, at vi kan tælle antallet af streger.

Det er nu klart, at antallet af streger er tælleligt. Da hvert Cantor element ligger i enderne i hver streg, så må vi derfor også have, at for hver streg, så har vi 2 Cantor elementer.

Vi må derfor have dobbelt så mange Cantor elementer som vi har streger (og faktisk færre, eftersom flere streger deler samme Cantor element.) Eksempelvis 2n på venstre side deler alle elementet {0}. Men lad os for simpelthedens skyld bare sige, at den deler dobbelt så mange elementer som streger. Dvs at antallet af Cantor elementer er lig 2N. Man kan også tænke det på en anden måde, at for hver en streg, så vil venstre side af stregen være negativt og højre side af stregen være positivt.

-2        +2           -3            +3 
⇓          ⇓             ⇓             ⇓
_______             _________

      L                           R

Vi ser derfor nu, at hvert Cantor element, har derfor lige så mange elementer som #Z = N. Det vil så sige, at Cantor mængden burde være tællelig.


Brugbart svar (0)

Svar #1
06. august kl. 21:11 af jl9

Er det elementerne, eller punkterne i elementerne, som er tællelige?


Skriv et svar til: Cantor mængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.