Matematik

differentialligning - modellere fiskeri

15. august 2022 af javannah5 - Niveau: A-niveau

Kan nogle hjælpe mig med det tredje spørgsmål, jeg har highlightede?

Vedhæftet fil: 2022-08-15 (2).png

Brugbart svar (0)

Svar #1
16. august 2022 af SuneChr

Den logistiske ligning viser, at ændringen af fiskebestanden er proportional med den øjeblikkelige fiskebestand gange den fiskebestand, der endnu må/kan fanges.
Det er i hvert fald sådan, jeg læser ligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #2
16. august 2022 af mathon

Bevis løsningsformlen for
differentialligningen $\small \small \begin{array}{lllllll} N{\, }'=r\cdot N\cdot \left ( K-N \right )\qquad r\textup{ og }K\textup{ er konstanter}\\\\ \begin{array}{c|l} \frac{\mathrm{d}N(t) }{\mathrm{d} t}=r\cdot N\cdot \left ( K-N \right )&\textup{for senere at kunne benytte "panserformlen"}\\&\textup{s\ae ttes }N(t)=\frac{1}{u}\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{1}{u(t)} \right )=r\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( K-\frac{1}{u} \right )\\\\ -\frac{1}{u^2}\cdot u{\, }'=r\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( K-\frac{1}{u} \right )&\textup{der multipliceres med } u^2\\\\ -u{\, }'=r\cdot \left ( u\cdot K-1 \right )&\textup{der multipliceres med }-1\\\\ u{\, }'=r\cdot \left ( 1-u\cdot K \right )&\textup{omskrivning}\\\\ u{\, }'+r\cdot K\cdot u=r&\textup{som l\o ses med "panserformlen"}\\\\ u=e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot \int r\cdot e^{r\cdot K\cdot t}\,\mathrm{dt}&\\\\ u=e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot \left ( \frac{1}{K}\cdot e^{r\cdot K\cdot t}+C_1 \right )&\\\\ u=C_1 \cdot e^{-r\cdot K\cdot t}+\frac{1}{K}&\textup{reciprokligning}\\\\ \end{array} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
16. august 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \begin{array}{c|l} \frac{1}{u}=\frac{1}{\frac{1}{K}+C_1\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}&\textup{der substitueres og br\o ken forl\ae nges med }K\\\\ N(t)=\frac{K}{1+K\cdot C_1\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}&K\cdot C_1=C\\\\ {\color{Red} \mathbf{N(t)=\frac{K}{1+C\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}}} \end{array} \end{array}$

Svar #4
16. august 2022 af javannah5

#2
Bevis løsningsformlen for
differentialligningen $\small \small \begin{array}{lllllll} N{\, }'=r\cdot N\cdot \left ( K-N \right )\qquad r\textup{ og }K\textup{ er konstanter}\\\\ \begin{array}{c|l} \frac{\mathrm{d}N(t) }{\mathrm{d} t}=r\cdot N\cdot \left ( K-N \right )&\textup{for senere at kunne benytte "panserformlen"}\\&\textup{s\ae ttes }N(t)=\frac{1}{u}\\ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{1}{u(t)} \right )=r\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( K-\frac{1}{u} \right )\\\\ -\frac{1}{u^2}\cdot u{\, }'=r\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( K-\frac{1}{u} \right )&\textup{der multipliceres med } u^2\\\\ -u{\, }'=r\cdot \left ( u\cdot K-1 \right )&\textup{der multipliceres med }-1\\\\ u{\, }'=r\cdot \left ( 1-u\cdot K \right )&\textup{omskrivning}\\\\ u{\, }'+r\cdot K\cdot u=r&\textup{som l\o ses med "panserformlen"}\\\\ u=e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot \int r\cdot e^{r\cdot K\cdot t}\,\mathrm{dt}&\\\\ u=e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot \left ( \frac{1}{K}\cdot e^{r\cdot K\cdot t}+C_1 \right )&\\\\ u=C_1 \cdot e^{-r\cdot K\cdot t}+\frac{1}{K}&\textup{reciprokligning}\\\\ \end{array} \end{array}$

Kan du fortælle med tekst hvad du har gjort med hensyn til udregning fra ligning 8 til ligning 9?

Også hvorfor har du skrevet 'reciprokligning' til højre nederst?

Vedhæftet fil:2022-08-16 (2).jpg

Brugbart svar (0)

Svar #5
19. august 2022 af mathon

#2 fortsætter i #3

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. august 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}&& u=C_1\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}+\frac{1}{K}\\\\&& u=\frac{1}{K}+C_1\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}\quad \textup{da addition er kommutativ}\\\\\textup{reciprokligning:}&&\frac{1}{u}=\frac{1}{\frac{1}{K}+C_1\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}\\\\\textup{br\o ken for\ae nges med }K\textup{:}&&\frac{1}{u}=\frac{K}{1+\cdot \left ( K\cdot C_1 \right )\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}\\\\&& \frac{1}{u}=\frac{K}{1+\cdot C\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}}\\\\\textup{endelig haves:}&&N(t)=\frac{K}{1+\cdot C\cdot e^{-r\cdot K\cdot t}} \end{array}$

Svar #7
19. august 2022 af javannah5

tak, men mangler stadig et svar på mit spørgsmål fra svar #4.

Brugbart svar (0)

Svar #8
20. august 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} u=&e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot \int r\cdot e^{\, r\cdot K\cdot t}\mathrm{d}t=\\\\& e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot\left ( \frac{r}{r\cdot K}\cdot e^{\, r\cdot K\cdot t}+C_1 \right )=e^{-r\cdot K\cdot t}\cdot\left ( \frac{1}{ K}\cdot e^{\, r\cdot K\cdot t}+C_1\right) \end{array}$

Skriv et svar til: differentialligning - modellere fiskeri

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.