Matematik

Find gradient, enhedsvektor og retningsafledede og størst retningsafledede.

07. oktober kl. 09:41 af sarabatta778 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej er der måske nogle venlige sjæle, der kan hjælpe med disse opgaver. 

På forhånd tusind tak:)


Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober kl. 12:28 af mathon


Brugbart svar (1)

Svar #2
07. oktober kl. 12:36 af mathon

\small \begin{array}{lllllll}\textbf{a)}\\&& f(x,y)=4x^2y+5xy^2+x^3\\\\&& \frac{\partial f}{\partial y}=4x^2+10xy \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #3
07. oktober kl. 12:44 af mathon

\small \small \begin{array}{lllllll}\textbf{b)}\\&& f(x,y)=4x^2y+5xy^2+x^3\\\\&& \frac{\partial f}{\partial y}=4x^2+10xy\\\\&&\frac{\partial y}{\partial x}=8y\cdot x+5y^2+3x^2\\\\&& \nabla\left ( f(x,y) \right )=\begin{pmatrix} 3x^2+8yx+5y^2\\4x^2+10xy \end{pmatrix} \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #4
07. oktober kl. 12:50 af mathon

\small \begin{array}{llllll}\textbf{c)}\\&& \overrightarrow{e}=\frac{1}{\sqrt{8^2+(-6)^2}}\cdot \begin{pmatrix} 8\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\\frac{-3}{5} \end{pmatrix} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #5
07. oktober kl. 13:05 af mathon

\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{d)}\\&& && \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\ \frac{-3}{5} \end{pmatrix}=4.8 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #6
07. oktober kl. 13:43 af mathon

\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&v=\tan^{1}\left ( \frac{36}{33} \right )=0.828849\\\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}


Svar #7
07. oktober kl. 14:13 af sarabatta778

hvorfor ganges gradienten med (cos (v) / sin(v)) allerførst?


Svar #8
07. oktober kl. 14:14 af sarabatta778

#6

\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&v=\tan^{1}\left ( \frac{36}{33} \right )=0.828849\\\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}

hvorfor ganges gradienten med (cos (v) / sin(v)) allerførst?


Brugbart svar (0)

Svar #9
07. oktober kl. 16:37 af mathon

Fordi en enhedsvektor søges:
                                                      \small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}


Svar #10
07. oktober kl. 17:36 af sarabatta778

#9

Fordi en enhedsvektor søges:
                                                      \small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}

Findes den maksimale værdi af den retningsafledede ved at tage længden af gradientvektoren som er 0.769917 og 0.638145??


Svar #11
07. oktober kl. 17:42 af sarabatta778

#9

Fordi en enhedsvektor søges:
                                                      \small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}

er lidt i tvivl omkring opg f. Længden er det 33 og 36 eller 0.769917 og 0.638145?


Svar #12
07. oktober kl. 18:12 af sarabatta778

#9

Fordi en enhedsvektor søges:
                                                      \small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}

hvor fik du 0.769917 og 0.638145 fra??


Brugbart svar (0)

Svar #13
08. oktober kl. 09:23 af mathon

korrektion:

\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&\cos(v)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(v)}}\quad\textup{da }\tan(v)>0\\\\&\cos(v)=\frac{1}{\sqrt{1+\left (\frac{36}{33} \right )^2}}=0.675725\\\\& \sin(v)=\frac{\tan(v)}{\sqrt{1+\tan^2(v)}}=0.737154 \\\\& \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #14
08. oktober kl. 09:23 af mathon

\small \begin{array}{lllllllll} \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #15
08. oktober kl. 09:36 af mathon

#14 nåede ikke at blive korrigeret inden for de 10 min.

.

\small \small \begin{array}{lllllllll}\textbf{f)}\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.675725\\ 0.737154 \end{pmatrix}=48.84 \end{array}


Skriv et svar til: Find gradient, enhedsvektor og retningsafledede og størst retningsafledede.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.