Matematik

Find gradient, enhedsvektor og retningsafledede og størst retningsafledede.

07. oktober 2022 af sarabatta778 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej er der måske nogle venlige sjæle, der kan hjælpe med disse opgaver.

På forhånd tusind tak:)

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2022-10-07 kl. 09.37.26.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. oktober 2022 af mathon

Brugbart svar (1)

Svar #2
07. oktober 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}\textbf{a)}\\&& f(x,y)=4x^2y+5xy^2+x^3\\\\&& \frac{\partial f}{\partial y}=4x^2+10xy \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
07. oktober 2022 af mathon

$\small \small \begin{array}{lllllll}\textbf{b)}\\&& f(x,y)=4x^2y+5xy^2+x^3\\\\&& \frac{\partial f}{\partial y}=4x^2+10xy\\\\&&\frac{\partial y}{\partial x}=8y\cdot x+5y^2+3x^2\\\\&& \nabla\left ( f(x,y) \right )=\begin{pmatrix} 3x^2+8yx+5y^2\\4x^2+10xy \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
07. oktober 2022 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{c)}\\&& \overrightarrow{e}=\frac{1}{\sqrt{8^2+(-6)^2}}\cdot \begin{pmatrix} 8\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\\frac{-3}{5} \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
07. oktober 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{d)}\\&& && \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\ \frac{-3}{5} \end{pmatrix}=4.8 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
07. oktober 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&v=\tan^{1}\left ( \frac{36}{33} \right )=0.828849\\\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}$

Svar #7
07. oktober 2022 af sarabatta778

hvorfor ganges gradienten med (cos (v) / sin(v)) allerførst?

Svar #8
07. oktober 2022 af sarabatta778

#6
$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&v=\tan^{1}\left ( \frac{36}{33} \right )=0.828849\\\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}$

hvorfor ganges gradienten med (cos (v) / sin(v)) allerførst?

Brugbart svar (0)

Svar #9
07. oktober 2022 af mathon

Fordi en enhedsvektor søges:
$\small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$

Svar #10
07. oktober 2022 af sarabatta778

#9
Fordi en enhedsvektor søges:
$\small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$

Findes den maksimale værdi af den retningsafledede ved at tage længden af gradientvektoren som er 0.769917 og 0.638145??

Svar #11
07. oktober 2022 af sarabatta778

#9
Fordi en enhedsvektor søges:
$\small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$

er lidt i tvivl omkring opg f. Længden er det 33 og 36 eller 0.769917 og 0.638145?

Svar #12
07. oktober 2022 af sarabatta778

#9
Fordi en enhedsvektor søges:
$\small \textbf{e}=\begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}$

hvor fik du 0.769917 og 0.638145 fra??

Brugbart svar (0)

Svar #13
08. oktober 2022 af mathon

korrektion:

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{e)}\\& \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p=\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \cos(v)\\ \sin(v) \end{pmatrix}=33\cos(v)+36\sin(v) \\\\\\& \left ( \left ( D_\mathbf{e}\, f \right )_p \right ){}'=-33\sin(v)+36\cdot \cos(v)=0\\\\& 36\cdot \cos(v)=33\sin(v)\\\\& \tan(v)=\frac{36}{33}\\\\&\cos(v)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(v)}}\quad\textup{da }\tan(v)>0\\\\&\cos(v)=\frac{1}{\sqrt{1+\left (\frac{36}{33} \right )^2}}=0.675725\\\\& \sin(v)=\frac{\tan(v)}{\sqrt{1+\tan^2(v)}}=0.737154 \\\\& \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #14
08. oktober 2022 af mathon

$\small \begin{array}{lllllllll} \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix}=48.38\\\\& \textup{da enhedsvektor }\begin{pmatrix} 1\\0.828849 \end{pmatrix}\textup{ er } \begin{pmatrix} 0.769917\\ 0.638145 \end{pmatrix} \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
08. oktober 2022 af mathon

#14 nåede ikke at blive korrigeret inden for de 10 min.

$\small \small \begin{array}{lllllllll}\textbf{f)}\\& \textup{Den st\o rste retningsafledede af }f\textup{ i punktet }P(2,1)\\& \textup{er:}\\&\left ( \mathbf{\nabla}f \right )_P\cdot \mathbf{e}=\begin{pmatrix} 3\cdot 2^2+8\cdot 1\cdot 2+5\cdot 1^2\\ 4\cdot 2^2+10\cdot 2\cdot 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0.675725\\ 0.737154 \end{pmatrix}=48.84 \end{array}$

Skriv et svar til: Find gradient, enhedsvektor og retningsafledede og størst retningsafledede.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.