Matematik

Tangentbestemmelse, røringspunkt og arealet mellem/under to grafer

10. oktober 2022 af HansenDahl98 - Niveau: A-niveau

Hey venner. Jeg sidder fast i b'erne i en opgave som jeg ikke rigtig kan komme videre fra...

Den første opgave

A) Bestem en ligning for t

Hvor jeg har fået at vide at forskriften er:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-2$

Til røringspunkterne (6,f(6)).

Mit svar:

Jeg kom frem til at det skulle være y = 8x-38, dvs. ligning for t

B) Bestem røringspunktet P

...? Hjælp

Tekststykke efter opgave b)... "Graferne f og g samt tangenten t og y-aksen, afgrænser et område A...

C) Bestem arealet af område A

...? Hjælp

Tusind tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. oktober 2022 af SuneChr

Røringspunktet har vi og skal finde det til x = 6 svarende y. Indsæt x = 6 i tangentligningen.
Lad tangenten have forskriften g (x) hvor den skærer f (x) for x = - 3
Arealet begrænset af f (x) og tangenten er $\int_{-3}^{6}\left ( f(x)-g(x) \right )\, \textup{d}x$

Brugbart svar (0)

Svar #2
11. oktober 2022 af mathon

"Graferne f og g samt tangenten t og y-aksen, afgrænser et område A"

altså er grafen for g(x) forskellig fra tangenten t.

Du har ikke oplyst, hvad $\small \textbf{g(x)}$ er.

Svar #3
11. oktober 2022 af HansenDahl98

#2
#0

"Graferne f og g samt tangenten t og y-aksen, afgrænser et område A"

altså er grafen for g(x) forskellig fra tangenten t.

Du har ikke oplyst, hvad $\small \textbf{g(x)}$ er.

Beklager.

G(x) er:

$g(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x^2-8x-8$

Som ovenstående.. har stadig for hjælp! Tak

Svar #4
11. oktober 2022 af HansenDahl98

#1
Røringspunktet har vi og skal finde det til x = 6 svarende y. Indsæt x = 6 i tangentligningen.
Lad tangenten have forskriften g (x) hvor den skærer f (x) for x = - 3
Arealet begrænset af f (x) og tangenten er $\int_{-3}^{6}\left ( f(x)-g(x) \right )\, \textup{d}x$

Har prøvet at regne den ud..

Jeg får den til at være 270.... efter brug af CAS-værktøj

Brugbart svar (0)

Svar #5
16. oktober 2022 af mathon

Der kan ikke blive tale om en x-grænse x=-3, da y-aksen x=0 er en nedre grænse.

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}&& \textup{Define }f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-2\\\\&& \textup{Define }g(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x^2-8x-8\\\\&& \textup{Define }t(x)=8x-38\\\\&&\textup{solve}\left ( g(x)=t(x),x \right )\Rightarrow x=3 \quad \textup{(gr\ae nsev\ae rdi)}\\\\& \textup{Areal }\\&& \int_{0}^{3}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x+\int_{3}^{6}\left ( f(x)-t(x) \right )\mathrm{d}x=\frac{279}{4}=69.75 \\\\\\ \textbf{eller} \\\\& \textup{Areal }\\&& \int_{0}^{6}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x-\int_{3}^{6}\left ( t(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x=\frac{279}{4}=69.75 \end{array}$

Svar #6
18. oktober 2022 af HansenDahl98

#5
Der kan ikke blive tale om en x-grænse x=-3, da y-aksen x=0 er en nedre grænse.

$\small \small \small \begin{array}{llllllll}&& \textup{Define }f(x)=\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-2\\\\&& \textup{Define }g(x)=-\frac{1}{3}x^3+3x^2-8x-8\\\\&& \textup{Define }t(x)=8x-38\\\\&&\textup{solve}\left ( g(x)=t(x),x \right )\Rightarrow x=3 \quad \textup{(gr\ae nsev\ae rdi)}\\\\& \textup{Areal }\\&& \int_{0}^{3}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x+\int_{3}^{6}\left ( f(x)-t(x) \right )\mathrm{d}x=\frac{279}{4}=69.75 \\\\\\ \textbf{eller} \\\\& \textup{Areal }\\&& \int_{0}^{6}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x-\int_{3}^{6}\left ( t(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x=\frac{279}{4}=69.75 \end{array}$

Kan du måske vise dine mellemregninger ved den første metode til at udregne arealet? Mit wordmat værktøj gider ikke når jeg løser ligningen med cmd + l eller beregn cmd + b.... Har du mellemregninger? Det ville være en nøj kæmpe hjælp. Tak desuden forud det andet, det hjalp også!

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. oktober 2022 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{lllr} f(x)-g(x)=&\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-2-\left (-\frac{1}{3}x^3+3x^2-8x-8 \right )=\\\\&\frac{2}{3}x^3-6x^2+16x+6\\\\ \int\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x=&\frac{1}{6}x^4 -2x^3+8x^2+6x\quad \left ( +k_1 \right )\\\\\\\\ f(x)-t(x)=&\frac{1}{3}x^3-3x^2+8x-2-8x+38=\\\\& \frac{1}{3}x^3-3x^2+36\\\\ \int \left (f(x)-t(x) \right )\mathrm{d}x=&\frac{1}{12}x^4-x^3+36x\quad (+k_2)\\\\\\\\ \int_{0}^{3}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x=&\frac{1}{6}\cdot 3^4 -2\cdot 3^3+8\cdot 3^2+6\cdot 3&=&\frac{99}{2}\\\\\\ \int_{3}^{6}\left ( f(x)-t(x) \right )\mathrm{d}x=&\frac{1}{12}\cdot 6^4-6^3+36\cdot 6-\left ( \frac{1}{12}\cdot 3^4-3^3+36\cdot 3 \right )=\\\\& 108-\frac{351}{4}&=&\frac{81}{4}\\\\\\ \int_{0}^{3}\left ( f(x)-g(x) \right )\mathrm{d}x\; \; \, \, +&\int_{3}^{6}\left ( f(x)-t(x) \right )\mathrm{d}x=\frac{99}{2}+\frac{81}{4}=\frac{279}{4}=69\tfrac{3}{4}&=&69.75 \end{array}$

Skriv et svar til: Tangentbestemmelse, røringspunkt og arealet mellem/under to grafer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.