Partiel afledede af funktion

#0 Der henvises til FS. Lad vær med kopiere besvarelsen til a) og b) - det er plagiering!!!

a) Formel (194) siger, at med en funktion f af to variable haves f_x '(x,y)  = ∂/∂x (f(x,y)). Det samme gør sig gældende for variablen y, dvs.  f_y '(x,y)  = ∂/∂y (f(x,y)). I dit tilfælde haves

f_x '(x,y)  = ∂/∂x (f(x,y)) = ∂/∂x(x² + y³ +2xy) = 2x +2y       (_*)                                                                              fy '(x,y)  = ∂/∂y (f(x,y)) = ∂/∂y(x² + y³ +2xy) = 3y² +2x       (_**)

Den blandede afledede af f må være dens 2. ordens partielle afledede, dvs. f_xy ''(x,y) og f_yx ''(x,y): med (_*) og (_**) er

f_xy ''(x,y)  =  ∂/∂y( ∂/∂x ( f(x,y)) ) =  ∂/∂y ( ∂/∂x(x² + y³ +2xy) ) =  ∂/∂y (2x +2y) = 2                                             f_yx ''(x,y)  = ∂/∂x( ∂/∂y (f(x,y)) ) = ∂/∂x ( ∂/∂y(x² + y³ +2xy) ) = ∂/∂x( 3y² +2x) = 2

Heraf ses, at f_xy ''(x,y)  = f_yx ''(x,y).

b) Her bruges formel (196) - tangentplanen i et punkt P(x₀, y₀, z₀) er givet ved ligningen z = z₀ + p·(x - x₀) + q·(y - y₀), hvor p = f_x '(x₀, y₀) og q = f_y '(x₀, y₀). I opgaven er punktet P(-½, 1, f(-½, 1)), hvor x₀ = -½, y₀ = 1 og z₀ = f(-½, 1). Leddet z₀ beregnes: med et CAS-værktøj fås f(-½, 1) = 1/4.  Dernæst haves 

p = f_x '(-½, 1) = 1 og q = f_y '(-½, 1) = 2

Nu kan ligningen for tangenten i punktet P(-½, 1, f(-½, 1)) opstilles: 

                                                       z = 1/4 + 1·(x - (-1/2)) + 2·(y - 1)                                                                                                                              = 1/4 + (x + 1/2) + 2·(y - 1)                                                                                                                                    = x + 2y - 5/4

c) Denne delopgave overlades til dig. Brug formel (197)

okay altså

#1

#0 Der henvises til FS. Lad vær med kopiere besvarelsen til a) og b) - det er plagiering!!!

a) Formel (194) siger, at med en funktion f af to variable haves f_x '(x,y)  = ∂/∂x (f(x,y)). Det samme gør sig gældende for variablen y, dvs.  f_y '(x,y)  = ∂/∂y (f(x,y)). I dit tilfælde haves

f_x '(x,y)  = ∂/∂x (f(x,y)) = ∂/∂x(x² + y³ +2xy) = 2x +2y       (_*)                                                                              fy '(x,y)  = ∂/∂y (f(x,y)) = ∂/∂y(x² + y³ +2xy) = 3y² +2x       (_**)

Den blandede afledede af f må være dens 2. ordens partielle afledede, dvs. f_xy ''(x,y) og f_yx ''(x,y): med (_*) og (_**) er

f_xy ''(x,y)  =  ∂/∂y( ∂/∂x ( f(x,y)) ) =  ∂/∂y ( ∂/∂x(x² + y³ +2xy) ) =  ∂/∂y (2x +2y) = 2                                             f_yx ''(x,y)  = ∂/∂x( ∂/∂y (f(x,y)) ) = ∂/∂x ( ∂/∂y(x² + y³ +2xy) ) = ∂/∂x( 3y² +2x) = 2

Heraf ses, at f_xy ''(x,y)  = f_yx ''(x,y).

b) Her bruges formel (196) - tangentplanen i et punkt P(x₀, y₀, z₀) er givet ved ligningen z = z₀ + p·(x - x₀) + q·(y - y₀), hvor p = f_x '(x₀, y₀) og q = f_y '(x₀, y₀). I opgaven er punktet P(-½, 1, f(-½, 1)), hvor x₀ = -½, y₀ = 1 og z₀ = f(-½, 1). Leddet z₀ beregnes: med et CAS-værktøj fås f(-½, 1) = 1/4.  Dernæst haves 

p = f_x '(-½, 1) = 1 og q = f_y '(-½, 1) = 2

Nu kan ligningen for tangenten i punktet P(-½, 1, f(-½, 1)) opstilles: 

                                                       z = 1/4 + 1·(x - (-1/2)) + 2·(y - 1)                                                                                                                              = 1/4 + (x + 1/2) + 2·(y - 1)                                                                                                                                    = x + 2y - 5/4

c) Denne delopgave overlades til dig. Brug formel (197)

okay kan godt mærke jeg stod sådan halvt af jer, må bruge alle de hjælpe programmer jeg kan og vil, så er nysgerrig om der er en letter måde at taste formlen ind i et sted og få svaret?

#2 Der er nok en måde at indtaste formlerne i et program, og dermed få et svar. Om det er lettere i forhold til at vise udregninger "i papirform", må du selv vurdere. Jeg vil selv mene, at det er i hvert fald mindre tidskrævende. 

har prøvet at bruge Ti-Nspire, og brugt den metode de mener man skal gøre i dette program for at udregne det, men det giver bare ikke de samme resultater, så er lidt forvirret.

#4:

"xy" læses ikke af CAS som x gange y.

Er dette den korrekte udregning og resultat til b'eren så?

Nej for det er jo ikke det samme resultat som i #1:

ah ja, det er min fejl, stirrede mig blind på formlen om at det var y0 der skulle stå til sidst.
Tak

Så mangler jeg egentlig bare at regne c ud :)