Matematik

Hej. 

a) Det oplyses at f er en løsning til differentialligningen. Vi kan derfor indsætte punktet P(0,2) i differentialligningen og bestemme differentialkvotienten(f' i punktet).

y' = 2•2(8-2) = 32 - 8 = 24 

Vi kan nu indsætte værdierne i tangentens ligning.

y = f(x₀) + f'(x₀)•(x-x₀)

x₀ = 0 og f(x₀) = 2 (ud fra punktet P).

f '(x₀) = 24

y = 2 + 24•(x-0) = 2 + 24x - 0 = 24x + 2

Dvs.

y = 24•x+2 ,

hvor y er en ligning for tangenten til graften for f i punktet (0,2).

b) Her finder du løsningsformlen til den logistiske differentialligning på formen y' = a•y(M-y) i en formelsamling.

b) 

y' = a•y(M-y) ⇔

y = M/(1+c•e^-a•M•x) 

Vi finder først den fuldstændige løsning til differentialligningen.

y = 8/(1+c•e^-2•8•x) = 8/(1+c•e^-16•x).

Vi bestemmer nu den partikulære løsning gennem punktet (0,2) ved at indsætte punktet og bestemme værdien for konstanten c.

Dvs.

2 = 8/(1+c•e^-16•0) = 8/(c+1) ⇔

2•(c+1) = 8 ⇔

2•c + 2 = 8 ⇔

c = 3

Vi kan heraf opskrive en forskrift for f, som er den løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (0,2).

f(x) = 8/(1+3•e^-16•x)